第四章 正弦稳态电路

正弦交流电路

各处电压,电流都随时间按同频率正弦变化的电路,称为正弦交流电路,简称 正弦电路.

对于所有电源 (包括受控源与电压源) 都是同频率 (同 \(\omega\)) 正弦量的电路, 达到稳定状态便是正弦电路. 故正弦电路也称 正弦稳态电路

实际应用中,如果电压电流变动频率不是特别高,且电路尺度不是特别大时,可忽略连线上的位移电流,感应电动势,电阻电压与漏导电流.(仍可建立参数集中模型).

特别地,正弦函数的导数,积分,和差仍为同频率正弦量.

正弦量的瞬时表示: \[ i = I_m \cos \left( \omega t + \psi_i \right) \] 由 幅值, 角频率, 初相 三量唯一确定.

周期量的有效值: \[ I = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2 \mathrm{d}t} \] 即:任何周期量的有效值都等于该周期量的方均根值.

正弦量的相位差: \[ \varphi = \psi_1 - \psi_2 \]

超前(滞后):先(后)达到最大值或从同一变化方向先(后)达到零值.

• 同向: \(\varphi = 0\)
• 反向: \(\varphi = \pm \pi\)
• 正交: \(\varphi = \pm \frac{\pi}{2}\)

复数的不同表示.

有正弦量 \(f(t) = F_m\cos(\omega t \psi)\), 称 \(\dot{F_m} = \vec{P}[f(t)] = F_m e^{j\psi} = F_m \angle \psi\) 为正弦量的 向量变换, 简称 相量

• 幅度相量: \(\dot{F}_m = F_m\angle \psi\)
• 有效值相量: \(\dot{F} = F \angle \psi\), 其中 \(F = F_m/\sqrt{2}\) (对正弦量而言.)

由相量变换的线性性易证:

• 基尔霍夫电流引理: (KCL) \[ \sum\pm \dot{I}_{km} = 0 \]
• 基尔霍夫电压引理: (KVL) \[ \sum\pm \dot{U}_{km} = 0 \]

在 RLC 串联电路中, 由 KVL 可知: \(\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C\), 故有 \[ \dot{U} = R \dot{I} + j\omega L \dot{I} - j \frac{1}{\omega C} \dot{I} = \dot{I} \left[ R + j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) \right] \] 令 \(Z = R + j \left( \omega L -\frac{1}{\omega C} \right) = R + j(X_L - X_C) = R + jX = |Z|\angle\varphi \). 则有 *欧姆定律的相量形式: \[ \dot{U} = Z \dot{I} \]

阻抗

前文复数 \(Z\) 称为 RLC 串量电路的负阻抗, 简称阻抗. 注意 \(Z\) 虽然是复数, 但 不能视为相量, 因为他不是来自正弦量的相量变换.

阻抗模

\(|Z|\), 在不至于误解的情况下也可称为阻抗

阻抗角

\(\varphi\)

阻抗三角形

\(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\)

\[ \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U\angle \psi_u}{U\angle\psi_i} = \frac{U}{I}\angle(\psi_u - \psi_i) = Z = |Z|\angle\varphi \] 故有

\begin{cases} \frac{U}{I} = |Z|\\ \psi_u - \psi_i = \varphi \end{cases}

在并联电路中, 由 KCL 可知: \(\dot{I} = \dot{I}_G + \dot{I}_C + \dot{I}_L\), 所以 \[ \dot{I} = G \dot{U} + j\omega C\dot{U} + \frac{U}{j\omega L} = \dot{U}\left[ G + j \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) \right] \] 令 \(Y = \left[ G + j \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) = G + j(B_C - B_L) = G + j B = |Y|\angle\varphi_Y\right]\)

导纳

上式 \(\dot{I} = Y \dot{U}\) 中复数 \(Y\) 称为 GLC 并联电路的 导纳 与阻抗相同, \(Y\) 也不能视为相量.

导纳模

\(|Y|\)

导纳角

\(\angle \varphi_Y\)

RLC 与 GLC 等效: \[ Y = \frac{1}{Z}\Rightarrow G + jB = \frac{1}{R + jX} \]

1. 将电阻推广为复阻抗,将电导推广为复导纳.
2. 将激励用相量形式表示,恒定电压、电流推广为电压、电流的相量.
3. 按线性直流电路分析方法计算相量模型电路.
4. 将所算得相量数据转化为正弦表达式.

• 瞬时功率 \[ p = ui = UI\cos \left( \psi_u - \psi_i \right) + UI\cos \left( 2\omega t + \psi_u + \psi_i \right) \] \[\because |\psi_u - \psi_i| \le 90^{\circ}, \therefore UI\cos \left( \psi_u - \psi_i \right)\ge 0\] 反映一端口网络吸收电能; 同理 \[ \int_0^T UI\cos \left( 2\omega t + \psi_u + \psi_i \right) = 0\] 反映一端口与外部电路交换能量.

• 平均功率 \[ P = \frac{1}{T}\int_0^T p\mathrm{d}T = UI\cos \left( \psi_u - \psi_i \right) = UI\cos\varphi_Z = UI\lambda \] 其中

  功率因数角

  \(\varphi_z = \psi_u - \psi_i\)

  功率因数

  \(\lambda = \cos\varphi_z\)

  一般有 \(|\varphi_z\le 90^{\circ}|, 0\le\lambda\le 1\)

• 电阻: 有功功率 \(P = UI\)

• 电感与电容 \(\frac{1}{T}\int_0^T p\mathrm{d}T = 0\) 表明其在一个周期内吸收与释放的能量相等, 是无损元件.

  故引入无功功率表示其中磁场/电场能量与为外电路交换的最大速率.

  电感无功功率

  \[ Q_L = UI = I^2 X_L = \frac{U^2}{X_L} \]

  电容无功功率

  \[Q_C = - UI = - I^2X_C = - \frac{U^2}{X_C}\]

有功电流/无功电流 <-> 有功电压/无功电压.

平均功率(有功功率)

单位 W \[ P = UI\cos\varphi_z \]

无功功率

单位 W \[Q = UI\sin\varphi_z\]

• \(Q > 0\), \(\psi_u > \psi_i\), 感性无功
• \(Q < 0\), \(\psi_u < \psi_i\), 容性无功

视在功率

表示电气设备容量, 单位 \(\text{V}\cdot \text{A}\) \[ S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2} \]

功率三角形

\(S^2 = P^2 + Q^2\)

功率因数

\(\lambda = \cos\varphi_z = P/(UI) = P/S\)

复功率

\[ \tilde{S} = P + jQ = \dot{U}I^{*} \] 注意复功率的模是视在功率.

复功率守恒

\[ \sum \dot{U}_k \dot{I}_k^{*} = \sum P_k + j\sum Q_k = 0 \]