第十二章 光学

目录

1. 费马原理(光程最短原理)

光在空间中的两点沿光程最短的路径传播. 即 \[\int_A^B n \mathrm{d}l = \text{minimum} \] 其中 \[n = \frac{c_0}{u} = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}\] 为介质的折射率.

推论

  1. 均匀媒质中光沿直线传播.
  2. 反射定律: 反射角等于入射角, \[i = i^{\prime}\]
  3. 折射定律: \[n_1 \sin i = n_2\sin r\]

全反射临界角: \[i_c = \arcsin \frac{n_2}{n_1}\; (n_1 > n_2)\]

2. 光在平面上的反射和折射

  1. 平面镜(镜面对称)

  2. 三棱镜: 最小偏向角 \[\delta_{\min} = 2i - \alpha\] 满足光路对称 \(i = r^{\prime}, i^{\prime} = r\)

    可求折射率 \[n = \frac{\sin \left( \frac{\alpha + \delta_{\min}}{2} \right)} {\sin \frac{\alpha}{2}}\]

光的色散

3. 光在球面上的反射和折射(傍轴成像)

3.1. 正负号法则

规定:

  • 顶点 \(O\)
  • 曲率中心 \(C\)
  • 球面半径为曲率半径 \(r\)
  • 顶点到物点距离 物距 \(p\)
  • 顶点到像点距离 像距 \(p^{\prime}\)
  • 光线发出区域 A 区
  • 光线通过区域 B 区

有:

  • 物距 \(p\) 在 A 区为正 (实物), 对面 (不一定是 B 区) 为负 \(虚物\)
  • 物距 \(p^{\prime}\) 在 B 区为正 (实像), 对面 (不一定是 A 区) 为负 \(虚像\).
  • 曲率半径 \(r\): 曲率中心在 B 区时为正.
  • 焦距 \(f\): 焦点在 B 区为正.

3.2. 球面镜成像

(傍轴条件下): \[\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = \frac{2}{r}\] 取焦距 \(f = \frac{r}{2}\), 可得: \[\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = \frac{1}{f}\]

放大率
\[m = - \frac{p^{\prime}}{p}\]
  • \(m > 0\), 成像正立
  • \(m < 0\), 成像倒立

作图法:三条特殊光线.

3.3. 球面折射

(傍轴条件下): \[\frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{p^{\prime}} = \frac{n_2 - n_1}{r}\; (n_2 > n_1)\]

横向放大率
\[m = \frac{n_1 p^{\prime}}{n_2 p}\]
像方焦距
\[f^{\prime} = \frac{n_2}{n_2 - n_1} r\]
物方焦距
\[f = \frac{n_1}{n_2 - n_1} r\]

可得 \[\frac{f^{\prime}}{f} = \frac{n_2}{n_1}\Rightarrow f^{\prime}\ne f\]

对与共轴球面系统成像, 总放大率 \(m\) 为 \[m = \prod_{i=1}^n m_i\]

4. 薄透镜成像

  • 凸透镜(双凸,平凸,凹凸)
  • 凹透镜(双凹,平凹,凸凹).

4.1. 薄透镜物像公式

傍轴条件下: \[\frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{p^{\prime}} = \frac{n - n_1}{r_1} + \frac{n_2 - n}{r_2}\] 空气中 \(n_1 = n_2 \approx 1\), 此时有 \[\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = \frac{1}{f}\] 可得空气中磨镜者公式 \[f = f^{\prime} = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)}\]

薄透镜放大率
\[m = - \frac{p^{\prime}}{p}\]
光焦度
单位为屈光度 \[D = \frac{1}{f}\]

4.2. 应用

  • 人眼
  • 放大镜
  • 显微镜
  • 望远镜.

5. 普通光源与激光光源

5.1. 普通光源

发光机理:激发态原子(分子)的自发辐射.

每个原子发光是间歇的. 发光时间 \(\tau\approx 10^{-8}\text{s}\) 波列长有限 \(L = \tau c\)

真实光源发光不是无限长简谐波而是有限长的波列.

各个原子的发光完全独立,互不相关,是一种随机过程.

故不同原子在同一时刻发出的波列在 频率, 振动方向, 初相位 与 传播方向 等都可能不同.

5.2. 激光光源

频率, 相位, 振动, 传播方向 完全一样. 故:

  • 可以实现光放大
  • 单色形好
  • 相干性好

5.2.1. 单色光

理想单色光
具有恒定单一频率的简谐波,它无限伸展.
实际原子的发光
一个有限长的波列,不是严格的余弦函数,准单色光.
谱线宽度
衡量标志谱线单色性好坏的物理量. 造成谱线宽度的主要原因
  • 自然增宽
  • 多普勒增宽
  • 碰撞增宽.

6. 光的叠加

光波的叠加: 光强分布 \[I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\phi\]

6.1. 非相干叠加

独立光源由于原子发光的随机性和间歇性, 相位差 \(\Delta\Phi\) 不恒定.故 \[ \bar{\cos}\left( \Delta\phi \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow I = I_1 + I_2 \]

没有发生光强在空间中的重新分布, 故为非相干叠加.

6.2. 相干叠加

相干条件:

  • 振动频率相同
  • 振动方向相同
  • 相位差恒定.

干涉相长与相消: (\(k = 0, 1, 2, \ldots\))

  • \(\Delta\phi = \pm 2k\pi\), \(\bar{I}_{\max}\), 干涉相长
  • \(\Delta\phi = \pm (2k + 1)\pi\), \(\bar{I}_{\min}\), 干涉相消
  • 能产生相干叠加的两束光称为相干光. 获得相干光的方法
    • 分波阵面法(双缝干涉)
    • 分振幅法(薄膜干涉).

7. 光的干涉

7.1. 双缝干涉:分波阵面法

实验装置

单色光源后放置狭缝 S,相当于线光源;

S 后对称放置间距为 \(d\) 的平行狭缝, 处在 \(S\) 发出的同一波阵面上, 到像屏距离为 \(D\), 属于相干光源.

明暗纹模式
  • 明纹中心: \(\delta = \pm k\lambda\), \(k = 0, 1, 2, \ldots\)
  • 暗纹中心: \(\delta = \pm (2k + 1)\lambda\), \(k = 1, 2, \ldots\)

又由 \(\delta = \frac{xd}{D}\) 知:

  • 明纹中心: \(x = k \frac{D}{d}\lambda\), \(k = 0, \pm 1,\pm 2, \ldots\)
  • 暗纹中心: \(x = (2k - 1)\frac{D}{d}\frac{\lambda}{2}\), \(k =\pm 1, \pm2, \ldots\)

故任意两条相邻明 (暗纹) 距离: \[\Delta x = \frac{D}{d}\lambda\]

洛埃德境
采用单缝 S 与平面镜,实现双缝干涉效果.

中心因半波损失变为暗纹.

半波损失
光从 光疏 媒介 \(n_1\) 射向 光密 媒介 \(n_2\) 时 (\(n_1 < n_2\)) 在 掠射 (\(i\approx\pi/2\)) 或 正入射 (\(i\approx 0\)), 在两种媒介界面反射处相位发生 \(\pi\) 的突变.
相干长度

两列波能发生干涉的最大光程差 \[L = \delta_{\max} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\]

光源单色性越好,能产生干涉条纹的最大光程差越大.

光程
\[\delta = \int n \mathrm{d}l\] 将介质中波程差统一为真空中波程差.

薄透镜的等光程性.

7.1.1. 反射光的相位突变和附加光程差.

  • 相位突变 \(\pi\)
  • 附加光程差 \(\delta = \frac{\lambda}{2}\)

反射光发生附加光程差的条件:

  1. \(n_1 < n_2 > n_3\)
  2. 或 \(n_1 > n_2 < n_3\).

折射光在任何情况下不发生相位突变.

7.2. 薄膜干涉:分振幅干涉

7.2.1. 等厚干涉-–—同一条纹反映膜的同一厚度.

劈尖 (劈形膜)
\[\delta = 2\pi e + \frac{\lambda}{2}\]
(no term)
\(\delta = k\lambda\) 明纹
(no term)
\((2k + 1) \frac{\lambda}{2}\) 暗纹
相邻两条明纹/暗纹对应厚度差
\[\Delta e = \frac{\lambda}{2\pi}\]
条纹间距

\[L = \frac{\Delta e}{\tan\theta} = \frac{\lambda}{2\pi\tan\theta}\approx \frac{\lambda}{2\pi\theta}\]

7.2.1.1. 牛顿环

平行光入射, 平凸透镜与平镜形成空气劈尖. \[\delta = 2 e + \frac{\lambda}{2}\]

  • \(\delta = k\lambda\) 明环

  • \((2k + 1) \frac{\lambda}{2}\) 暗环

    第 \(k\) 级暗环半径 \(r_k = \sqrt{kR\lambda}\) 条纹间距 内疏外密.

\[R = \frac{r_{k+m}^2 - r_k^2}{m \lambda}\]

7.2.2. 等倾条纹-–—同一条纹反映入射光的同一倾角.

\[\delta = 2\mathrm{e} \sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2 i + \frac{\lambda}{2}}\]

  • \(\delta = k\lambda\) 明纹, \(k = 1, 2, 3, \ldots\)
  • \(\delta = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}\) 暗纹, \(k = 0, 1, 2, 3, \ldots\)

条纹分布内疏外密.

  • 增透膜: 反射相消 \[2n \mathrm{e} = \left( k + \frac{1}{2} \right)\lambda \Rightarrow \mathrm{e} = \frac{\lambda}{4n}\]
  • 高反膜: 反射增强. \[2ne + \frac{\lambda}{2} = k\lambda\]

由光能守恒可知,反射光相互增强时,透射光相互减弱,反之亦然.

  • 迈克尔孙干涉仪 : \(d\) 为 \(M_1\) 与 \(M_2^{\prime}\) 形成的空气膜上下两个面反射光的光程差. 可以产生等倾条纹或等厚条纹.

8. 光的衍射

光的衍射现象
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫做光的衍射. 衍射效应中,光线不但可以拐弯,而且可能出现明暗相间的条纹.

8.1. 衍射现象的分类

菲涅耳衍射
光源和观察屏(或二者之一)距离衍射孔(缝)的距离有限,也称近场衍射,较复杂.
夫琅禾费衍射

光源和观察屏距离衍射孔(缝)无限远,(入射光和出射光均为平行光)

也称远场衍射,实际上是菲涅耳衍射的极限形式.

惠更斯-菲涅耳原理: \[\mathrm{d}E_{(p)}\propto \frac{\alpha(Q)k(\theta)}{r}\mathrm{d}S\] P 处波的强度: \(I\propto E_{0}^2(p)\)

8.1.1. 单缝的夫琅禾费衍射

\[\delta = a \sin\theta\] 由半波带法得:

  • 中央明纹 (中心): \(a\sin\theta = 0\)
  • 半角宽: \(\sin a = \lambda/a\).
  • 暗纹 (中心): \(a\sin\theta = \pm k\lambda\), \(k\ne 0\)
  • 明纹中心 : \(a\sin\theta = \pm (2k+1) \frac{\lambda}{2}\), \(k\ne 0\)

结论:

  • 中心明纹最亮,宽度其他明纹的两倍;
  • 其他的明纹宽度相同;离开中央的明纹中心,亮度逐渐下降.
  • 缝宽 \(a\) 越小, 条纹越宽
  • 波长 \(\lambda\) 越大, 条纹越宽.
  • 当缝极宽, \(\frac{\lambda}{a}\rightarrow 0\) 时, \(\theta\rightarrow 0\) 各级明纹向中央靠拢, 无法分辨, 只显出单缝.

  • 当缝极细, \(a\approx \lambda\), \(\sin\theta_1\approx 1\), \(\theta_1\approx \frac{\pi}{2}\) 屏上只接到中央明纹的一部分.

    故杨氏双缝干涉中若不考虑衍射,则要求缝极细.

8.1.1.1. 干涉与衍射的联系与区别
  • 干涉与衍射都是波的相互叠加.
  • 干涉指的是有限的的子波的相干叠加,按照几何光学传播;
  • 衍射是无限多的子波的相干叠加,基于惠更斯原理.
  • 二者常常同时出现在同一现象中.

由分量振幅法可得: \[I = I_0 \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2, \; \alpha = \frac{\pi\alpha\sin\theta}{\lambda}\]

  • 主极大 (中央明纹) 位置, \(\theta = 0\),

\(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\rightarrow 1\), \(I = I_0\)

  • 极小 (暗纹) 位置: \(\sin\alpha\rightarrow 0\), \(I = 0\) 故 \(\alpha = \pm k \pi\), \(k\ne 0\) 得: \(a\sin\theta = \pm k\lambda\), \(k\ne 0\)
  • 次极大 (其他明纹) 位置: \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 = 0\), \(\Rightarrow \tan\alpha = \alpha\)

8.1.2. 夫琅禾费圆孔衍射

平行单色光通过小圆孔发生衍射.

衍射图样的中央是一个明亮的圆斑,称为 艾里斑, 外围是同心暗环和明环. \[\sin\theta_1 = 1.22 \frac{\lambda}{D}\] 其中 \(D\) 为圆孔直径. \[\theta_1 \approx \sin\theta_1 = 1.22 \frac{\lambda}{D}\]

  • \(D\) 越小, 艾里斑越大, 衍射越显著.
  • \(D\) 越小, 艾里斑越大, 衍射越显著.

8.2. 瑞利判据

对于两个强度相等的不相干点光源, 一个点光源衍射图样的主极大刚好和另一点光源衍射图样的第一级极小相重合, 则认为此时两个点光源恰能被光学仪器所分辨.

最小分辨角 \(\theta_0\)
\[\theta_0 = 1.22 \frac{\lambda}{D}\]
分辨本领 \(R\)
\[R = \frac{1}{\theta_0} = \frac{D}{1.22\lambda}\]

⇒ 提高仪器分辨本领的两种方法

  • 增大孔径
  • 减小波长

9. 光栅

透射光栅,反射光栅.

光栅常数 \(d\)
\(d = a + b\)
明纹条件 (主极大)
\[(a+b)\sin\theta = k\lambda\]
暗纹条件 (主极小)
\[(a+b)\sin\theta = \frac{k^{\prime}}{N}\lambda\] 其中 \(k^{\prime}\) 去掉 \(k^{\prime} = kN\) 的取值.

故相邻两个主机大间, 有 \(N - 1\) 个主极小, \(N - 2\) 个次极大. (\(N\) 为光栅条数.)

缺级

干涉明纹的光强受衍射调节,则有:

\begin{cases} (a+b)\sin \theta = \pm k\lambda\\ a\sin\theta = \pm k^{\prime}\lambda \end{cases}

\[\Rightarrow k = \frac{a + b}{a} k^{\prime}\] 此时 \(k\) 级主极大光强为零, 称为主极大缺 \(k\) 级.

光栅分辨本领
设入射波长为 \(\lambda\), \(\lambda + \Delta\lambda\) \[R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda}\Rightarrow R\approx Nk\] 其中 \(N\) 为光栅缝数, \(k\) 为光栅级次.

9.1. 斜入射的光栅方程

相邻缝间光程差: \[\delta = (a + b)\left( \sin\theta \pm \sin\theta^{\prime} \right)\]

  1. 斜入射级次分布不对称.
  2. 斜入射时,可得到更高级次的光谱,提高分辨率.
  3. 垂直入射的斜入射相比,完整级次数不变.
  4. 垂直入射和斜入射相比,缺级次级相同.

9.2. 晶体光栅

X 射线: 波长短, 能量高, 穿透能力强.

晶格上的原子相当于缝, 晶格常数相当于光栅常数.

布拉格公式
设晶面间距为 \(d\), 则光程差 \(\delta = 2d\sin\theta\), \(\theta\) 为入射角的余角. 可得各层散射光加强条件: \[2d\sin\theta = k\lambda\] 上式即布拉格公式.

10. 偏振

偏振是横波特有性质.

线偏振光
垂直于传播方向 (\(\vec{u}\) 方向) 的平面内, 光矢量沿某一固定方向振动.
振动面
光矢量振动方向与传播方向的平面称为振动面.
圆偏振光

光矢量在垂直传播方向的平面内按一定频率旋转,光矢量的端点的轨迹是个圆的光.

迎着光线看,光矢量顺时针旋转为右旋;逆时针旋转为左旋.

椭圆偏振光
正交二维谐振动的合成.
自然光
非偏振光.
部分偏振光
介于自然光与线偏振光之间.
偏振度
\[P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \in [0, 1] \]
起偏
从自然光中获得偏振光
起偏器
振片-利用晶体的二向色性.
马吕斯定理
\[I = I_0\cos^2\alpha\] 其中 \(I\) 为线偏振光初始光强.

检偏;消光.

10.1. 反射和折射时光的偏振

自然光在介质表面反射与折射时,反射光中垂直入射面的分量(S 波)比例大; 折射光中平行入射面的分量(P 波)比例大.

故存在 \(i = i_B\) 使得反射光只有垂直入射面的分量. 此时有: \[i_B + r_0 = \frac{\pi}{2}\] \(i_B\) 为 布儒斯特角, 又称 起偏角. 可推得 \[\tan i_B = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}\]

应用: 橱窗去掉反射角的干扰.

折射起偏法-玻璃片堆. 增大反射光的强度, 使折射光近似为线偏振光.

玻璃片堆检偏.

11. 双折射现象

双折射
一束自然光射向各向异性介质时,折射光分为传播方向不同的两束折射光线.
寻常光 o
遵循折射定律
非常光 e
一般不遵循折射定律,一般不在入射面内.

方解石晶体以入射光线为轴旋转时,o 光不动,e 光绕 o 光旋转.

二者都是偏振光,偏振方向大致垂直.

光轴
光沿此方向传播时,寻常光和非常光不再分开. 单轴晶体;双轴晶体.
主平面
晶体中已知任意光线与晶体光轴构成的平面. o 光的主平面;e 光的主平面.
主截面
晶体表面的法线与晶体光轴构成的平面 o 光振动垂直于其主平面;e 光平行于其主平面.

在各向异性的晶体中,子波源同时发出 o 光,e 光两种子波.

  • o 光子波, 沿各方向传播的方向速度相同, 为 \(v_o\), 波阵面为一个园.

    o 光只有一个光速 \(v_o\), 一个折射率 \(n_o\).

  • e 光的子波,各方向传播的速度不同,波阵面为一个椭圆.

    e 光在平行光轴方向上速度与 o 光速度相同为 \(v_o\);

    e 光在垂直光轴方向速度与 \(v_o\) 相差最大, 记为 \(v_e\).

    垂直光轴方向传播时其相应的折射率为 \(n_e = \frac{c}{v_e}\)

正晶体与负晶体

  • 正晶体: \(n_e > n_o,\; v_e < v_o\)
  • 负晶体: \(n_e < n_o,\; v_e > v_o\)

双折射晶体中的惠更斯作图法.

光轴平行晶体表面, 自然光垂直入射时: o 光,e 光在方向上虽没有分开,但速度不同,仍是两束不同的光,存在双折射.

11.1. 应用

  • 格兰-汤姆逊偏振棱镜:o 光全反射,留下 e 光为线偏振光.
  • 沃拉斯顿棱镜(偏光分束镜).
  • 波片:

    1. 四分之一波片

      作用:从线偏振光获得正椭圆或圆偏振光.

      • \( \alpha≠0,\pi/4,\pi/2 \):椭圆偏振光.
      • \( \alpha=0 \): 线偏振光(平行于光轴)
      • \( \alpha=\pi/4\): 圆偏振光
      • \( \alpha=\pi/2 \): 线偏振光(垂直于光轴).

      反过来椭圆或圆偏振光经 1/4 波片可以获得线偏振光.

    2. 二分之一波片

      作用:可使线偏振光的转动面转过 \( 2\alpha \) 角.

      • 使圆偏振光右旋→左旋;左旋→右旋.
      • 椭圆的长轴转过 \( 2\alpha \) 角.
    3. 全波片:对波长为λ的光没什么影响(相位延迟了 \(2\pi\)).

椭圆与圆偏振光的检偏:用 1/4 波片和偏振片 P.

日期: 2019-05-19 Sun 18:04

作者: yuandi

Created: 2026-03-11 Wed 22:08