第四章 相对论基础

• 相对性原理
• 光速不变原理

低速下近似为伽利略变换

应用 \(u_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)

\begin{cases} u^{\prime}_x = \frac{u_x - v}{1 - \frac{v}{c^2} u_x}, & u_x = \frac{u^{\prime}_x - v}{1 + \frac{v}{c^2} u^{\prime}_x}; \\ u^{\prime}_y = \frac{u_y \sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \frac{v}{c^2} u_x}, & u_y = \frac{u^{\prime}_y \sqrt{1 - \beta^2}}{1 + \frac{v}{c^2} u^{\prime}_x}; \\ u^{\prime}_z = \frac{u_z \sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \frac{v}{c^2} u_x}, & u_z = \frac{u^{\prime}_z \sqrt{1 - \beta^2}}{1 + \frac{v}{c^2} u^{\prime}_x}. \\ \end{cases}

\[ \Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 + \left( \mathrm{i}c\Delta t^2 \right)\] \[\Delta s^2 = \Delta \left( {s^{\prime}}\right)^2 \]

• 同时的相对性
• 时间延缓
• 长度收缩
• 因果的绝对性

静止质量 \(m_{0}\)

物体在相对静止的惯性系中测出的质量。

相对论质量

运动时的质量 \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \beta^2}} \] 故有 \[ \vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \beta^2}} \vec{v} \right) \]

静能

\[E_0 = m_0 c^2\]

运动时的能量

\[ E = m c^2 \] 即为 质能关系式.

动能

\[E_k = E - E_0\]

对洛伦兹变换保持不变: \[ E^2 = c^2p^2 + E_0^2 = c^2p^2 + m_0^2 c^4 \]