特征值与特征向量

• \(f(\lambda)\) 首项 \(\lambda^n\), 系数为一的 \(n\) 次多项式
• 次首项为 \(\text{tr}(A)\lambda^{n - 1}\), \(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\)
• 常数项为 \((-1)^{n}|A|\)

故有:

• A 的迹等于其全体特征值之和(计重数);
• A 的行列式等于其全体特征值之积.

即: \[\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A),\; \prod_{i=0}^n \lambda_i = |A|\] 若 \(A\) 适合一个多项式 \(g(x)\), 即 \(g(A) = 0\), 则 \(A\) 的特征值也适合该多项式, 即 \(g(\lambda) = 0\).

(降幂,简化矩阵多项式的运算)

对于给定的 \(n\times n\) 方阵 \(A\), 其特征多项式为 \(f(\lambda) = |\lambda_0 I_n -A|\). Cayley-Hamilton 定理断言: \[f(A) = 0\]

找出线性变换 \(T\) 的表示矩阵 \(A\) 的相似对角阵(寻找合适的基简单化)

• 特征向量的 线性无关性 => 属于不同特征值的特征子空间之和为 直和.
• \(n\) 阶矩阵 \(A\) 与对角矩阵相似 <=> \(A\) 有 \(n\) 个 线性无关 的特征向量 (代数重数等于几何重数). 有推论:
  • \(n\) 阶矩阵 \(A\) 如果有 \(n\) 个 不同的 特征值 (特征值全部是单根), 则 \(A\) 一定可以对角化.
  • 当 \(A\) 的某特征值代数重数小于集合重数, 或 \(A\) 的线性无关特征向量个数小于 \(n\), 则 \(A\) 不能对角化, 此时称 \(A\) 为 退化的. 退化矩阵无法对角化.

E.g

并非所有 n 阶矩阵都可以对角化,但实对称阵一定可以对角化.

=> 实对称矩阵任一特征值的 代数重数等于几何重数.

属于实对称阵 A 的不同特征值的特征向量一定正交.

对于 \(n\) 阶实对称阵 \(A\), 总能找到一个 正交矩阵 \(P\) (\(P^{-1} = P^T\)), 使得 \(P^{-1}A P\) 为对角阵.

另外, \[P^{-1}AP = P^T AP = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n)\] 其中 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值.

E.g