二次型

二次齐次多项式

\[X^T A X\] 其中 A 为对称阵

E.g., 实数域上的三元二次型: \[f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_1x_2 + 3x_1x_3 + x_2^2 + 4x_2x_3 + 3 x_3^2\] 具有实系数的二次型称为实二次型, 具有复系数的二次型称为复二次型.

若令 \(a_{ij} = a_{ji}\), \(2a_{ij}x_ix_j = a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i\), 则

\begin{aligned} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) &= a_{11} x_1^2 + a_{12} x_1 x_2 + \cdots + a_{1n} x_1 x_n \\ &+ a_{21} x_2x_1 + a_{22} x_2^2 + \cdots + a_{2n} x_2 x_n \\ &+ \cdots + a_{n1} x_n x_1 + a_{n2} x_n x_2 + \cdots + a_{nn} x_n^2 \end{aligned}

即 \[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j\] 矩阵形式为 \[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^T A X\] 其中

\begin{equation*} X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} ,\; A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

称为 二次型的矩阵形式.

矩阵 \(A\) 的秩也称为二次型的秩: \(f\) 的秩 = \(R(A)\)

对于二次型,我们主要讨论其化简问题:通过变换,将其化简为二次型的 标准型.

任何一个二次型,经满秩线性变换后,仍是二次型.

化二次型为标准型, 需要寻找可逆的 (满秩) 线性变换, 即 \(X = CY\). 显然 \(C\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的过渡矩阵.

令 \(X = CY\), 其中 \(|C|\ne 0\) 称为 非退化 线性变换或 满秩线性 变换, 则有: \[f(x_1, x_2, \ldots, x_n = (CY)^TA(CY) = Y^T(C^TAC)Y = Y^T B Y\] 由于 \(A\) 为 对称阵, \[B^T = \left( C^T AC \right)^T = C^T A^T \left( C^T \right)^T = B\] 故 \(B\) 也为 对称阵.

如果 \(Y^T B Y\) 是 标准型, 则 \(B\) 为 对角阵.

故: 化二次型为标准型的问题,就是实对称阵对角化问题.

• 配方法,
• 正交变换法.

二次型的标准型不唯一: 所用的满秩线性变换不同,标准型一般也不同.

二次型经变换的不变量:

• 规范形;
• 正负惯性指数

由惯性定律可知, 两个实二次型可经满秩变换相互转化的充要条件为: 它们有相同的秩和正惯性指数.

即两个实二次型的规范型均为:

\begin{equation*} C^TAC = \begin{bmatrix}I_p & & \\ & -I_q & \\ & & O\end{bmatrix} \end{equation*}

其中 \(q = r - p\) \(I_i\) 为单位阵, \(O\) 为零矩阵.