矩阵

1. 几种常见矩阵

对角阵
上/下三角矩阵
单位阵 => 纯量阵
行矩阵;列矩阵(行向量;列向量).
零矩阵.

力, 速度, 场等都可以向量表示 => 线性代数中扩展到 \(n\) 维.

2. 矩阵的运算

矩阵同型

2.1. 矩阵的加法

满足交换律,结合律
数乘可视为连加, 满足两个分配律,结合律

将加法和数乘两种运算统称为 矩阵(向量)的线性运算.

2.2. 矩阵的乘法

满足两个结合律; 两个分配律.
一般来说,AB≠BA,即矩阵乘法不满足交换律.

可交换矩阵
满足乘法交换律的方阵;

乘法可交换
满足 A·B=B·A 的矩阵.

与所有同阶方阵满足乘法可交换的方阵为纯量阵 \(A = k I_n\).

2.3. 矩阵的转置(一种运算)

转置性质(4 种).

对称矩阵;反对称矩阵

方阵的幂 \[(AB)^k\ne A^k B^k\]

矩阵多项式(复合方阵多项式的可逆性: \[f(A)g(A)=g(A)f(A)\]

2.4. 方阵的逆

逆阵的唯一性

2.4.1. 伴随矩阵

矩阵 A 的代数余子式矩阵的转置矩阵

伴随矩阵计算逆阵: \[A^{-1} = \frac{A^{*}}{|A|}\]

即使矩阵不可逆,伴随矩阵也仍然存在.

伴随矩阵的其他性质

2.4.2. 可逆矩阵的性质

矩阵的初等变换与初等矩阵:将矩阵变换为易处理的形式

三类初等变换.

经初等变换所得矩阵不等于原矩阵. 特别地, 第三类初等变换 不改变行列式的值 => 对分块矩阵也成立.

三类初等矩阵:左行右列

3. 矩阵等价(相抵)

所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的集合,称为 A 的等价类.

4. 矩阵的标准形与秩

4.1. 矩阵的标准形

推论

初等的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同.
任意一个非零矩阵 \(A_{m\times n}\), 必存在 \(m\) 阶可逆矩阵 \(P\) 和 \(n\) 阶段可逆矩阵 \(Q\), 使得 \[A = P \begin{bmatrix} E_r & O\\ O & O\end{bmatrix} Q\] 其中 \[\begin{bmatrix} E_r & O\\ O & O\end{bmatrix}\] 为 \(A\) 的标准型.

同阶矩阵 A 与 B 相抵的三种充要条件

全体 \(m\times n\) 阶矩阵可用等价类来划分.

4.2. 矩阵的秩

满秩矩阵;降秩矩阵

秩反映了矩阵的固有性质.

用矩阵的初等变换求秩: 任何矩阵经初等变换后秩不变 => 对分块矩阵也成立.

行阶梯型矩阵;最简形式阶梯型矩阵;高斯消元法的本质

阶梯形矩阵所对应的方程组与原方程组同解.
如果阶梯形矩阵出现 \(s\) 个零行, 说明原方程组中有 \(s\) 个方程是非独立的.
- 阶梯形矩阵中全为零的行一般对应多余的方程.
即原方程组中有 \(r = n - s\) 个独立 (必不可少) 的方程…
- i.e., 秩.

初等变换法求逆阵(不能混用行列变换)

初等变换解矩阵方程

5. 分块矩阵

准对角矩阵 (\(A_i\) 为方阵)

分块矩阵的运算(转置,加法,数乘,乘法)

6. 矩阵的秩的二级结论

设 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵, \(B\) 为 \(n\times p\) 矩阵, \(C\) 为 \(p\times n\) 矩阵

\[r(A|B) \le r (A) + r(B)\] 此结论由下式推得 \[r \begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix} = r(A) + r(B) \le r \begin{pmatrix}A & C \\ O & B\end{pmatrix}\]
\[r(A + B) \le r(A) + r(B)\]
\[r(A) + r(B) - n \le r(AB) \le \min \{ r(A), r(B) \}\]

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