线性变换

(注意线性变换与线性映射(线性算子)的区别): 线性变换是 \(V\) 到其自身的线性映射；

微分，积分均是线性映射(算子)

设 \(\epsilon_1\ldots\epsilon_n\) 为 \(V\) 的一组基, \(T\) 为 \(V\) 的一个线性变换.

因为任取 \(\xi\in V\), 都可用基线性表示, 且系数唯一确定, 即: \[\xi = \sum_{i=1}^n x_i \xi_i\] 线性变换保持线性关系不变, 因此 \[T(\xi) =\sum_{i=1}^n x_i T(\epsilon_i)\]

基 \(\epsilon_1, \epsilon_2,\ldots,\epsilon_i,\ldots,\epsilon_n\) 在线性变换 \(T\) 下的像线性表示为: \[T(\epsilon_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji}\epsilon_i\]

设 \(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n\) 是线性空间 \(V\) 的一个 基, \(T\)是 \(V\) 的一个线性变换, 基在 \(T\) 下的像 可表示为

\begin{aligned} T(\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_n) &= [T(\epsilon_1), T(\epsilon_2), \ldots, T(\epsilon_n)]\\ &= [\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_n] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix}\\ &= [\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_n] A \end{aligned}

\(A\) 称为 \(T\) 在基 \(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n\) 下的 表示矩阵.

• 给定基下任一向量的坐标是唯一的, 包括像; 因此, \(T\) 在给定基下的矩阵 \(A\) 是唯一的.

  => \(A\) 是 \(T\) 在给定基下的坐标矩阵.

• 即给定 \(V\) 的基, 线性变换 \(T\) <=> 矩阵 \(A\)

  有定理: 给定基下, 线性变换 \(T\) 与表示矩阵 \(A\) 一一对应.

(一类欧氏空间中线性变换):保持内积不变的线性变换

即所有通过内积定义(如夹角、长度)的属性都不会随正交变换改变(e.g 旋转)