线性空间与线性方程组

1. 线性空间

(向量空间,把线性空间中元素称为向量)

1.1. 数域与数环

(数域满足加减乘除闭包;数域满足加减乘闭包;有理数为最小数域)

1.2. 线性空间运算

(向量满足加法与数乘运算的八条法则)

1.3. 线性空间的基本性质

(两类元素的唯一性)

1.4. 向量的线性关系

1.5. 线性组合与线性表示

1.6. 线性相关与线性无关

(线性独立)

1.6.1. 特殊结论

向量组线性相关的充要条件为:其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.
推论:若一个向量可用线性无关组表示,则表示法唯一.

1.7. 向量组的秩

极大无关组

能完全代表原向量组的最小部分组.

向量组 \(S\) 中任一向量可经其极大无关组线性表示 => \(S\) 可由无关组生成.

极大无关组不是唯一的;但每个极大无关组所含向量个数相等.

向量组等价 (与矩阵的等价的关系)

若两个向量组可以相互线性表示, 则称两个向量组等价. => 向量组与它自身的极大线性无关组等价.

向量个数大于维数必相关.

初等行(列)变换不改变矩阵空间列(行)向量的线性相关性.

线性空间的基;坐标.

任意向量在给定基下的坐标唯一(线性无关组做线性表示的唯一性).

1.8. 矩阵的秩

矩阵的秩: 阶矩阵 \(A\) 的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩.

向量组的坐标矩阵是其线性相关性的全权代表.

矩阵的解空间(零空间)

\(AX＝0\) 全部解向量的集合.

若 \(A\) 的列向量组线性无关,\(r(A)＝n\), \(A\) 的解空间只有一个 \(0\) 向量.
若 \(A\) 的列向量组线性相关,则 \(r(A)＜n\), 线性方程组 \(AX=0\) 的解有无穷多个.

基变换与过渡矩阵

1.9. 子空间

(满足加法与数乘的闭包性);生成元.

1.9.1. 子空间的运算

交
和
直和

子空间之和与子空间之交仍为子空间.

1.9.1.1. 直和的充要条件们

1.9.2. 子空间运算推论

设 \(W_1\), \(W_2\) 是线性空间 \(V\) 的两个子空间, 则下列陈述彼此等价:

\(W_1 + W_2\) 是直和
\(W_1 + W_2\) 中零向量分解唯一: 即若 \(\alpha_1 + \alpha_2 = 0\), 其中 \(\alpha_1\in W_1\), \(\alpha_2\in W_2\), 则 \(\alpha_1 = \alpha_2 = 0\)
\(W_1\cap W_1 = \{\vec{0}\}\) \[\text{dim}(W_1 + W_2) = \text{dim} W_1 + \text{dim}W_2\] \(W_1 + W_2\) 的基可由 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的基合并起来.

2. 多元线性方程组(一元多次方程组)

未知向量
右端向量
增广矩阵: 将对方程组的研究转化为对 \(m\times(n＋1)\) 的增广矩阵的研究. E.g. 对方程组施行初等变换 <=> 对增广矩阵施行初等行变换

2.1. 线性方程组的分类

(考虑线性代数方程组 \(AX = b\), \(b = [b_1, b_2,\ldots,b_m]^T\))

齐次
非齐次

2.2. 相容于不相容

如果一个线性方程组存在解,则称方程组相容;反之,则称不相容.

2.3. 非齐次线性方程组的向量解释

(b 能由 A 的列向量线性表示).

2.4. 线性方程组的解

对于非齐次线性方程组,

当 \(r_A \ne r_{\bar{A}}\) 时, 方程组不相容
当 \(r_A = r_{\bar{A}} = r = n\) 时, 方程组有唯一解 \[x_1 = d_1, x_2 = d_2, \ldots, x_n = d_n\]
当 \(r_A = r_{\bar{A}} = r < n\) 时, 方程组有无数解.