行列式
目录
1. 起源
多元一次方程组
2. 二阶行列式的计算
对角线法则.
3. 三阶行列式展开式的计算
三阶行列式的对角线法则.
对角线法则只适用于二阶,三阶行列式.
4. n 阶行列式
排列: 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的排列.
逆序(逆序数,排列的奇偶性)
对换(变换得到另一个排列;对换改变奇偶性)
在全部 \(n!\) 种 \(n\) 级排列中,奇、偶排列各占一半,即各有 \(n!/2\) 种.
4.1. n 阶行列式的展开
- 行标. 特别地, 上(下)三角行列式的展开 = 主对角线元素之积.
- 列标、自由排列. \[|A| = |A^T|\] 其中 \(A^T\) 为 \(A\) 的转置.
5. 行列式的性质
- 转置不动
- 归零
- 数乘
6. 行列式的加减法
分行(列)相加性
把行列式的某一行(列)的元素乘以某数 k 后再加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.
7. 行列式的计算
- 利用定义;
- 利用性质;
- 化行列式为上三角行列式.
行列式中行与列具有相同地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
8. 行列式的展开
8.1. 余子式与代数余子式
引理: 一个 \(n\) 阶行列式 \(|A|\), 如果其第 \(i\) 元素除 \(a_{ij}\) 外都为零, 那 \(|A|\) 等于 \(a_{ij}\) 与其代数余子式的乘积, 即 \[|A| = a_{ij} A_{ij}\]
8.2. Laplace 展开
8.2.1. 应用
加边法(升阶法)
8.2.2. 推论
行列式某一行(列)的元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即 \[\sum_{i = 1}^n a_{ik}A_{ik} = 0,\ (i\ne j)\]
8.2.3. Laplace 定理
k 阶子式的 Laplace 展开
9. Cramer 法则
用 Cramer 法则解方程组的两个条件:
- 方程个数等于未知量个数.
- 系数行列式不等于零.
9.0.1. 应用:
- 低阶线性方程组的求解.
- 理论的推导证明.
10. \(n\) 阶范得蒙行列式:
\[|A| = \prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i)\]