第八章 反常积分
目录
1.积分区间无限 2.被积函数无限
反常积分性质:特别的是,乘积可积性;绝对可积性对反常积分不适用.
定积分的一切计算法则如线性运算;换元积分法;分部积分法都可以平行地用于反常积分
设 \(f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上有定义. \[ \lim_{ x \to \infty} =0 \Leftrightarrow \int_{ a}^{+\infty} {f(x)\mathrm{d}x} 收敛 \] 上述结论不成立 (两边均不能推导出对方).
反常积分特殊结论
Cauchy 主值
Cauchy 收敛原理 (对函数 \(F(x)=\int_a^x{f(t)\mathrm{d}t}\)在 \(x\rightarrow +\infty\)上应用函数的 Cauchy 收敛原理)
绝对收敛; 条件收敛 (e.g.: \(f(x)=\sin{x}/x\), \(\int_{1}^{+\infty} {f(x)\mathrm{d}x}\) 收敛, \(\int_1^{ +\infty}{|f(x)|\mathrm{d}x} \) 不收敛)
1. 无限区间上反常积分的收敛判定:
1.1. 非负函数的反常积分收敛判定:(比较判定;Cauchy 判定)
- 比较判别法
- 设在 \([a, +\infty)\) 上恒有 \(0\leq f(x) \leq K\varphi(x), K>0\).
- 积分第二中值定理
- \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 可积, \(g(x)\) 在 \( [a, b] \) 上单调 (即 \(g'(x)\) 不变号), 则 \(\exists \xi \in [a, b]\), 使得 \[ \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x + g(b)\int_\xi^{b}f(x)\mathrm{d}x\]
- Cauchy 判别法
- 比较判别法中取 \(\varphi(x)={1}/{x^p}\).
- A-D 判别法
- \( F(A)=\int_{ a}^A f(x)\mathrm{d}x \) 有界, \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调有界.
2. 无界函数反常积分的收敛判别法
\(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上只有奇点 \(b\) 的情况.
2.1. Cauchy 收敛原理
对函数 \(F(x)=\int_{ a}^{b-x}f(t)\mathrm{d}x \) 在 \(x \rightarrow 0+\) 应用函数的 Cauchy 收敛原理.
Cauchy 判别法
2.2. A-D 判别法:
\(F(A)=\int_a^{A} {f(x)\mathrm{d}x} \)有界, \(g(x)\) 在 \([a, b)\) 上单调有界.
- Abel 判别法
- \(\int_a^b {f(x)\mathrm{d}x}\)收敛 (即 \(\lim_{A \rightarrow b} F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x\) 存在), \(g(x)\) 在 \([a,b)\)上单调有界. ⇒ \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x\) 收敛.
- Dirichlet 判别法
- \(F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x\) 有界, \(g(x)\) 在 \([a,b)\)上单调, 且 \(\lim_{x \to b} {g(x)}=0\). ⇒ \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x\) 收敛.
设 \(\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x \) 收敛, 且 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\)上一致连续,则 \(\lim_{x \to +\infty} {f(x)}=0\)