第六章 不定积分

两类: \(u=g(x)\); \(x=\varphi (t)\)

分部积分公式的使用模式(三种:降低复杂程度,类型靠拢,周期性)

\[ \int{ \tan x \mathrm{d}x }= -\ln { |\cos x| } +C; \int{\cot x \mathrm{d}x}=\ln{|\sin{x}|} + C; \]

\[ \int{\sec x \mathrm{d}x}=\ln {|\sec{x} + \tan{x}| +C; \int{\csc\mathrm{d}x} = \ln{ |\csc{x} - \cot{x} |}} +C; \]

\[ \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C ; \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right|+C \]

\[ \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C ; \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C \]

\[ \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+C \]

\[ \int \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \pm a^{2} \operatorname{In}\left|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right|\right)+C; \]

Special: (YD 基本积分) \[ \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2 a^{2}}\left(\frac{x}{x^{2}+a^{2}}+\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}\right)+C \]

满足 \({p_m(x)}/{q_n{x}}\) 为真分式, 即 \( m < n \).

有理函数的原函数必为初等函数

• 可化成有理函数的不定积分的情况:
  1. 根号下两个一次项比值;
  2. 三角函数万能公式