第十三章 重积分

面積定義：\(D\) 爲 \(\mathbb{R}^2\) 上的有界子集; 可求面積的; 零邊界區域.

有界點集是 可求面積的 <=> 邊界 \(\partial D\) 面積爲零.

平面上光滑曲線線段面積爲零 => 若一有界區域的邊界是分段光滑曲線, 則其可求面積.

不是所有有界平面点集都可求面积.e.g.Dirichlet 函数.

\(\iint_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma\), 要求 \(D\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 上零边界闭区域.

引入二重积分的 Darboux 大和 \(S\)和 Darboux 小和 \(s\), 有结论: \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积的 充要条件 是: \[ \lim_{\lambda \rightarrow 0} (S - s) = 0 \] 即 \[ \lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta\sigma_i = 0 \] 其中 \(\omega_i = M_i - m_i\), 为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的振幅.

推论: 若 \(f(x, y)\) 在零边界闭区域 \(D\) 上连续, 则 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积. 条件可以放宽至 \(f(x, y)\) 有界且至多在有限条面积为零的曲线上不连续.

\[ \int_{\Omega} f \mathrm{d}V = \lim_{\lambda\rightarrow 0}f(\vec{x_i}\Delta V_i) \]

类似与二维积分情形: 若 \(f(\vec{x})\) 在零边界闭区域 \(\Omega\) 上连续, 则 \(f(\vec{x})\) 在 \(\Omega\) 上可积.

• 线性性;区域可加性;常值函数的特殊结论;保序性及其推论.
• 绝对可积性: \[ \left| \int_{\Omega}f\mathrm{d}V \right| \le \int_{\omega} |f| \mathrm{d}V \]
• 乘积可积性: 注意 \[ \int_{\Omega}f\cdot\int_{\Omega}g = \int_{\Omega}f\cdot g \] 不成立.
• 积分中值定理: 设 \(f, g\) 都在 (零边界) 区域 \(\Omega\) 上可积, 且 \(g\) 在 \(\Omega\) 上不变号, 设 \(M, m\) 分别为 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的上下确界,则存在 \(\mu\in[m, M]\) 使得: \[\int_{\Omega}f\cdot g \mathrm{d}V = \mu\int_{\Omega}g \mathrm{d}V\]

转化为累次积分.

设二元函数 \(f(x, y)\) 在闭矩形 \(D = [a, b]\times[c, d]\) 上可积 (已知有重积分存在).

转化为矩形区域重积分计算 => 累次积分.

设 \(f(x, y)\) 在 \(D = \{(x, y) | y_1(x) \le y(x) \le y_2(x), a\le x \le b \}\) 上连续 (闭集上连续必定可积.)

设 \(U\) 为 \(uv\) 平面上的 开集, \(V\) 为 \(xy\) 平面上的 开集),有映射: \(T: \{x=x(u, v); y = y(u, v)\} \) 为 \(U\) 到 \(V\) 的 *一一对应 映射.

\(\forall P\in V\), 称 \((u, v)\) 为 \(P\) 的 曲线坐标, 称 \(T\) 为 坐标变换.

进一步假设 \(x = x(u, v), y = y(u, v)\) 具有 连续偏导数 且 \[ \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\ne 0 \] 易证上式左项在 \(U\) 上不变号.

\(\forall\) 具有分段光滑边界的 有界闭区域 \(D\in U\), \(T(D)\in V\) 也为具有分段光滑边界的 有界闭区域.

非负函数反常二重积分收敛的充要条件: 特别地, 对于反常多重积分而言: 绝对可积 <=> 可积.

比较判别法:大收小收,大散小散(类比一元函数反常积分).

反常重积分特殊结论:

• \(f(\vec{x}) = 1/r^p\) 的敛散性
• Poisson 积分

=> Cauchy 判别法: 对 \(f(\vec{x}) = 1/r^p\) 应用 比较判别法

奇点: 设 \(D\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 上的有界区域. \(P_0\in D\), \(f(x, y)\) 在 \(D \backslash P_0\) 上有定义, 但 \(\forall O(P_0, \rho)\) 有 \(f(x, y)\) 无界成立. 则称 \(P_0\) 为 \(f\) 的奇点. => 奇线.

同理易得出无界函数的反常重积分的比较判别法与 Cauchy 判别法.

• 化成累次积分
• 变量代换

特别注意: 两种计算方法都 不 要求已知 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积.

外积: \[ \vec{a} \wedge \vec{b} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \] 其中 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\).

1. 反称性: \(\vec{a}\wedge \vec{b} = - \vec{b}\wedge \vec{a}\) => \(\vec{a}\wedge \vec{a} = 0\), \(a\in\mathbb{R}^2\)
2. 分配律: \(\vec{a}\wedge(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\wedge \vec{b} +\vec{a}\wedge\vec{c}\); \((\vec{a} + \vec{b})\wedge \vec{c}= \vec{a}\wedge \vec{b} +\vec{b}\wedge\vec{c}\)
3. 数乘结合性: \((\lambda \vec{a})\wedge \vec{b} = \vec{a}\wedge (\lambda \vec{b}) = \lambda(\vec{a}\wedge \vec{b}).\)

• 一次微分形式 (1-形式): \[ \omega = \sum_{i=1}^n a_i(\vec{x})\mathrm{d}x_i \] 其中 \[ \vec{x}\in U \subset \mathbb{R}^n, a_i(\vec{x})\in C^1(U) \] 其全体记为 \(\Lambda^1\)

  规定 \(\mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j = -\mathrm{d}x_j\wedge \mathrm{d}x_i\); \(\mathrm{d}x_i\wedge \mathrm{d}x_i = 0\).

• 构造出 2-形式: \[ \sum_{1\le i < j \le n} {g_{ij}(\vec{x})\mathrm{d}x_i\wedge \mathrm{d}_j} \in \Lambda^2 \]

• k-形式: \[ g(\vec{x})\mathrm{d}x_{i1}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x_{ik} \] k > n 时, 有: \(\Lambda^k = \{0\}\).

\[ \mathrm{d}y_1\wedge \mathrm{d}y_2\cdots\wedge\mathrm{d}y_n = \frac{\partial(y_1,\cdots,y_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)} \mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}x_2\cdots\wedge \mathrm{d}x_n \]