第十二章 多元函数微分学

讨论偏导数与全微分概念时, 定义域 \(D\rightarrow \mathbf{R}^n\), \(D\) 为 开集.

对 \(x\) 可偏导, 对 \(y\) 可偏导; 在点 \(x_0, y_0\) 可偏导.

对多元函数而言,可偏导未必连续(高维情况下偏导与连续无关). E.g.: \(f(x, y) = \)

1. \(\dfrac{xy}{x^2 + y^2}, x^2+y^2 \ne 0,\)
2. \(0, (0, 0)\)

该函数在 (0, 0) 点可偏导但不可连续.

方向导数 \(\frac{\partial f}{\partial v} (x_0, y_0)\), \( ||\vec{v}||=1, t=(v_1, v_2, \cdots v_n)\), 注意 \( t\rightarrow 0^+\).

全微分

\(\delta z = A \delta x +B \delta y + o(\sqrt{\delta x^2 +\delta y^2} )\). \( A\delta x + B\delta y\) 为线性主要部分.

即: \( \mathrm{d} z (x_0, y_0) = A \mathrm{d} x + B \mathrm{d} y\).

可微必可偏导, 易证: \[\mathrm{d} f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0) \mathrm{d} y . \]

可微 => 全方向导数存在, 且 \[ \frac{\partial f}{\partial v} (x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial v} (x_0, y_0)\cos \alpha+ \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0) \sin \alpha . \]

一元函数的可导和可微是等价的. 在高维情况下可微 => 可导. 但可偏导 不一定 可微. 且全方向导数存在不能导出可微. 如前例函数所示.

偏导数连续 => 可微: 设函数 \(z = f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 的某个邻域内存在偏导数, 且偏导数在 \((x_0, y_0)\) 点连续, 则 \(f\) 在 \((x_0, y_0)\) 点可微. 反之不成立.

偏导函数的偏导数.

\(f_{xy}(x, y), f_{yx} (x, y)\) 被称为混合偏导数. \(f_{xy}(x, y) = f_{yx} (x, y)\) 不一定成立.

特别注意: \( \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial z}{\partial x} \) 仍旧为 \( (x, y) \) 的二元函数.

设混合偏导数相等, 对多元函数有: \[ \mathrm{d}^k u = \left( \sum_{i=1}^n \mathrm{d}x_i \frac{\partial}{\partial x_i} \right)^k u. \]

向量值函数的导数:Jacobi 矩阵.

向量值函数的微分

向量值函数的连续, 可导, 可微就是它每个坐标分量的连续, 可导, 可微.

链式规则: \(z = f\cdot \vec{g} = f[ x(u, v), y(u, v) ] \) 要求 \(f\) 在 \( (x_0, y_0) \) 上可微, \(x, y\) 在 \( (u_0, v_0) \) 上可偏导.

推广到多元函数 \(\vec{f} : D_f \subset \mathbf{R}^k \rightarrow \mathbf{R}^m\) 与 \(g : D_g \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^k\) 分别在其定义域上有连续导数. 若 \(\vec{g}\) 值域是 \(\vec{f}\) 定义域的子集, 并记 \( \vec{u} = \vec{g} (\vec{x}) \), 则对复合向量值函数有 \(\vec{f}\cdot \vec{g}\) 有:

\[ (\vec{f}\cdot \vec{g}) \prime( \vec{x} ) = f\prime (\vec{u}) \cdot g\prime (\vec{x}) .\] 上式中各项为相应的导数, 即 Jacobi 矩阵.

一阶微分形式不变性:不论是自变量还是中间变量,一阶微分都具有相同的形式.

全微分的形式不变性在高阶微分时不成立.

凸区域

设 \( D \in \mathbf{R}^n\) 是区域 (连通开集). 若联结 \(D\) 中任意两点的线段都完全属于 \(D\), 即: \( \forall \vec{x}_0, \vec{x}_1 \in D, \forall \lambda \in [0, 1] \) 恒有 \(\vec{x}_0 + \lambda (\vec{x}_1 - \vec{x}_0 ) \in D \), 则称 \(D\) 是 凸区域.

中值定理: \( f (x, y) \) 在凸区域 \( D\in \mathbf{R}^n \) 上可微.

Taylor 公式: 设函数 \(f(x, y)\) 在点 \( (x_0, y_0) \) 的邻域 \( U=O ((x_0, y_0) ,r) \) 上 \(k+1\) 阶连续偏导数.

一元隐函数存在定理: \(F = 0\) , 闭矩形上有连续偏导, \(F_y \ne 0\) => \(y = f(x) \) 有连续导数.

推广: 多元隐函数存在定理: 由 \(n+1\) 元函数 \( F(x_1, x_2, \cdots x_n, y) \) 确定隐函数 \( y = f( x_1, x_2, \cdots x_n ) \).

规定 Jacobi 行列式 \(\frac{\partial ( F, G )}{\partial (u, v) } =\)

\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial u} & \dfrac{\partial F}{\partial v} \\ \dfrac{\partial G}{\partial u} & \dfrac{\partial G}{\partial v} \\ \end{pmatrix}

多元向量值函数存在定理: \(m\) 个 \(n+m\) 元函数 \(F (x_1,\cdots x_n, y_1, \cdots y_n) \) 确定隐函数.

逆映射定理: 有 \( \mathbf{R}(u, v) \rightarrow \mathbf{R}(x, y)\) 可导, 若存在 \( P_0 ( u_0, v_0 ) \) 与 \( P\prime_0 ( u_0, v_0 ) \) 满足 \( \partial (x, y) / \partial (u,v) \ne 0 \), 则在 \(P\prime_0\) 邻域有: \( \mathbf{R}^2 (u,v) \leftarrow \mathbf{R}^2 ( x, y ) \).

推论:具有连续导数的可逆映射将开集映射成开集.

空间曲线的参数方程 \( ( a\leq t \leq b ) \)

\begin{align*} x = x(t)\\ y = y(t)\\ x = z(t)\\ \end{align*}

向量形式

\( \vec{r}(t) = x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath} + z(t) \vec{k}, a \leq t \leq b. \)

光滑曲线

导函数在闭区间上连续且恒不为零.

切线方程

\[\frac{x - x_0}{x^{\prime}(t_0)} = \frac{y - y_0}{y^{\prime}(t_0)} = \frac{z - z_0}{z^{\prime}(t_0)} \]

切向量

\[r^{\prime}(t_0) = \left( x^{\prime}(t_0), y^{\prime}(t_0), z^{\prime}(t_0) \right)\] 为切线的一个 方向向量

法平面

过 \(\left( x_0, y_0, z_0 \right)\) 与切线垂直: \[r^{\prime}(t_0)\cdot({\vec{x} - \vec{x_0}}) = 0 \] 即: \[ x^{\prime}(t_0)(x - x_0) + y^{\prime}(t_0)(y - y_0) + z^{\prime}(t_0)(z - z_0) = 0 \]

两平面之交表示空间曲线: \(F(x, y, z) = G(x, y, z) = 0\). 此时有:

• 切向量: \[ \left( \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}(P_0), \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}(P_0), \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}(P_0) \right) \]
• 切线方程: \[ \frac{x - x_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}(P_0)}, \frac{y - y_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}(P_0)}, \frac{z - z_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}(P_0)} \]
• 法平面方程: \[ \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}(P_0)(x - x_0) + \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}(P_0)(y - y_0) + \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}(P_0)(z - z_0) \] 特别地, 曲线 \(F(x, y, z) = G(x, y, z) = 0\) 在 \(P_0\) 的法平面即为 \(\mathbf{grad}F(P_0)\) 与 \(\mathbf{grad}G(P_0)\) 过 \(P_0\) 张成的平面.

曲面的一般方程

\[ F(x, y, z) = 0 \] 其中 \((x, y, z) \in D\)

光滑曲面

具有连续变动的切平面.

切平面方程

\[ F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) + F_2(P_0)(z - z_0) = 0 \]

法向量

\[ \left( F_x(P_0), F_y(P_0), F_z(P_0) \right)) \]

法线方程

\[ \frac{x - x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y - y_0}{F_y(P_0)} = \frac{z - z_0}{F_z(P_0)} \]

曲线的参数方程形式:

\begin{cases} x = x(u, v)\\ y = y(u, v)\\ z = z(u, v) \end{cases}

此时有:

• 切平面: \[ \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}(x - x_0) + \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}(y - y_0) + \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}(z - z_0) \]
• 法向量: \[\left( \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right)\]
• 法线方程: \[ \frac{x - x_0}{\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}}= \frac{y - y_0}{\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}}= \frac{z - z_0}{\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}} \]

多元函数的极值:定义在开区域上,邻域中可以取极值点,邻域内函数值可取等.

Femat 引理在多元函数的推广: \(\vec{x_0}\) 为 \(f\) 极值点, 且 \(f\) 在 \(\vec{x_0}\) 看偏导 => 偏导全为零 (必要条件).

驻点

使函数 \(f\) 各一阶导同时为零的点. 驻点不一定是极值点. 偏导数不存在的点也可能是极值点.

确保驻点是极值点的条件: 设 \(n\) 元函数 \(f(\vec{x})\) 在 \(\vec{x_0} = (x_1^0, x_2^0, \ldots,x_n^0)\) 附近具有 二阶连续偏导数, 且 \(\vec{x_0}\) 为 \(f(\vec{x})\) 驻点. 则有 二次型 \(g(\zeta) = \sum_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(\vec{x_0})\zeta_i\zeta_j\) 正定 时, \(f(\vec{x_0})\) 极小. vice versa.

函数最值问题:在内部求驻点,边界点求最值.

若 \(\vec{x_0} = (x_1^0, x_2^0, \ldots,x_n^0)\) 为函数 \(f(\vec{x})\) 满足 \(m\) 个约束条件 \(g_i(x_1, x_2,\ldots, x_n) = 0}\) 的条件极值点

• 必要条件:
  • \(f\), \(g_i\) 都有连续偏导数
  • \(g_i\) 的 Jacobi 矩阵在 \(\vec{x_0}}\) 出满秩
• 充分条件: 设 \(\vec{x_0} = (x_1^0, x_2^0, \ldots,x_n^0)\) 及 \(m\) 个常数 \(\lambda_i\), 满足方程组.