第十四章 曲线积分、曲面积分、场论

\(L\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 上一条 可求长 的 连续 曲线 (=> 有界闭集, =>紧集), \(f(x, y, z)\) 在 \(L\) 上 有界.

\[\int_L f(x, y, z)\mathrm{d}s = \lim_{\lambda\rightarrow 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta s_i\] 其中 \(\mathrm{d}s\) 为弧长的微分, \(L\) 为积分路径.

第一类曲线积分 与积分路径的方向无关 (\(\mathrm{d}s\) 非矢量, 无所谓起点终点.)

e.g.由面密度求空间中曲面总质量.

曲面面积: 设曲面方程为:

其中 \((u, v)\in D\). 即 \[ \vec{r}(u, v) = x(u, v)\vec{\imath} + y(u, v)\vec{\jmath} + z(u, v)\vec{k} \] 设

1. \(D\) 为 \((u, v)\) 平面上具有光滑边界的 有界闭区域.
2. 假设这个映射一一对应(简单曲面).
3. \(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\) 有连续偏导数, 且 Jacobi 矩阵满秩 => 曲面 \(\Sigma\) 光滑.

三个条件 => \(\forall Q(x_0, y_0, z_0) = \vec{Q}(u_0, v_0)\), \(\vec{r}_u(u_0, v_0), \vec{r}_v(u_0, v_0)\) 线性无关 => \(|| \vec{r_u}\times \vec{r_v}\ne 0 ||\)

考虑到叉乘的集合意义, 曲线的面积微元为 \( \mathrm{d}S = ||\vec{r_u} \vec{r_v}||\mathrm{d}u \mathrm{d}v \) => 曲面面积 \[ S =\iint_D || \vec{r_u}\times \vec{r_v}||\mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

Gauss 系数

\begin{cases} E = \vec{r_u}\cdot\vec{r_{u}} \\ F = \vec{r_u}\cdot\vec{r_{v}} \\ G = \vec{r_v}\cdot\vec{r_{v}} \end{cases}

易证 \(EG = F^2 = || \vec{r_u}\times \vec{r_v}||^2\) => \[\mathrm{d}S = \sqrt{EG - F^2}\mathrm{d}u \mathrm{d}v\] \[S = \int\sqrt{EG - F^2}\mathrm{d}u \mathrm{d}v\]

曲面 \(\Sigma\) 为 有界光滑 (或分片光滑) 曲面, 函数 \(f(x, y, z)\) 在 \(\Sigma\) 上 有界. \[ \iint_{\Sigma} f(x, y, z)\mathrm{d}S = \lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i \] 其中 \(\mathrm{d}S\) 为面积微元, \(\Sigma\) 为积分曲面.

e.g.求力在定向路径上所做的功.

\(L\) 为空间中一条 定向光滑曲线, 起点为 \(A\), 终点为 \(B\). 在 \(L\) 上每一点取 单位切向量 \(\tau = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\), 与 \(L\) 定向一致. 设 \(\vec{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\vec{\imath} + Q(x, y, z)\vec{\jmath} + R(x, y, z)\vec{k}\) 为 L 上 向量值函数. \[ \int_L \vec{f}\cdot\vec{\tau}\mathrm{d}s = \int_L \left[ P(x, y, z)\cos\alpha + Q(x, y, z)\cos\beta + R(x, y, z)\cos\gamma \right]\mathrm{d}s \] 即为 \(\vec{f}\) 在 \(L\) 上的 第二类曲线积分

e.g.求通量.

双侧曲面 => 定向 曲面; 单侧曲面 (Mobius 环). 注意数片双侧曲面拼在一起不一定仍是双侧曲面. e.g.m Mobius 环.

曲面的上侧与下侧;闭合曲面的内侧与外侧.

设 \(\Sigma\) 是 定向 光滑 曲面. 曲面上每一点指定了单位法向量 \(\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\), \(\vec{f}(x, y, z) = P \vec{\imath} + Q \vec{\jmath} + R \vec{k}\) 为定义在 \(\Sigma\) 上的 向量 值函数. \[ \iint_{\sigma}\vec{f}\cdot \vec{n}\mathrm{d} S = - \iint_{\Sigma} \left[ P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma \right]\mathrm{d}S\] 即为 \(\vec{f}\) 在 \(\Sigma\) 的 第二类曲面积分.

简单闭曲线(Jordan 曲线):除两个端点重合外,曲线自身不相交.

单连通区域;复连通区域.

平面区域的诱导定向.

Green 公式

设 \(D\) 为平面上 光滑或分段光滑 的 简单闭曲线 围成的 单连通 闭 区域; 函数 \(P(x, y)\), \(Q(x, y)\) 在 \(D\) 上具有 连续偏导数, 则有: (第二类曲线积分 <=> 二重积分) \[ \oint_{\partial D} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \right)\] 其中 \(\partial D\) 取 诱导定向

拓展: Green 公式可以应用于具有有限个"洞"的复连通区域上.

Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广.

二维单连通;二维复连通.

闭曲面的诱导定向:外侧.

Gauss 公式

设 \(\Omega\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 上 光滑或分段光滑 的 封闭 曲面围成的 二维单连通 闭 区域, 函数 \(P(x, y, z)\), \(Q(x, y, z)\), \(R(x, y, z)\) 在 \(\Omega\) 上具有 *连续偏导数, 则: (第二类曲面积分 <=> 三重积分)

\[\iiint_{\Omega}\left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z= \iint_{\partial \Omega} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x\mathrm{d}y \] 其中 \(\partial\Omega\) 取 诱导定向.

Guass 公式也可以推广到具有有限个"洞"的二维复连通区域上.

\(\forall\) k-形式 \[ \omega = \sum_{1\le i_1 < \cdots < i_k \le n} g_{i_1,\ldots,i_k}(\vec{x}) \mathrm{d}x_{i_1}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x_{i_k}\in \Lambda^k,\] 有 \[ \mathrm{d}\omega = \sum_{1\le i_1 < \cdots < i_k \le n} \sum_{i=1}^n \frac{\partial g_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_{i_1}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x_{i_k} \] 特别地, \(\forall\omega\in\Lambda, \mathrm{d}^2\omega = 0\). 设 \(\omega = P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 上的 1-形式, 则有: \[ \mathrm{d}\omega = \left( \frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d} y \right) \wedge \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y \right)\wedge \mathrm{d}y \]

由微分形式知: \(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}\wedge x = \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}y = 0, \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x\) \[ \mathrm{d}\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \right) \] 即 Green 公式.

同理可得出微分形式的 Newton-Leibniz 公式,Gauss 公式与 Stokes 公式.

所以可统一得出一般的 Stokes 公式: \[ \int_{\partial M}\omega = \int_M \mathrm{d}\omega \] 其中右式积分比左式高一维, \(\partial M\) 取 \(M\) 的诱导定向.

即: 高次的微分形式 \(\mathrm{d}\omega\) 在给定区域上的积分等于低一次的微分形式 \(\omega\) 在 低一维 的 区域边界 上的积分.

数量场;向量场.稳定场;不稳定场.

向量线

每一点的切线方向都与场向量(显然为向量场)在该点的方向一致.

梯度场

数量场 \(f(x, y, z)\) 产生的 向量场 \(\text{grad}f = f_x\vec{\imath} + f_y\vec{\jmath} + f_z\vec{k}\)

散度场

向量场 \(\vec{a}(x, y, z) = (P, Q, R)\) 产生的 数量场 \(\text{div}\vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)

旋度场

向量场\(\vec{a}(x, y, z) = (P, Q, R)\) 产生的 向量场 \[ \text{rot}\vec{a} \left| \begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{matrix} \right| \]

Hamilton 算子

\[ \nabla = \vec{\imath}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{\jmath}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z} \]

• Guass 公式可表示为: 域内总散度等于边界通量 \[ \iint_{\partial\Omega}\vec{a}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_{\Omega}\vec{\nabla}\cdot \vec{a}\mathrm{d}V \]
• Stokes 公式可表示为: 域内总旋度等于边界环流 \[ \int_{\partial\Sigma}\vec{a}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{\Sigma}(\vec{\nabla}\times \vec{a})\cdot \mathrm{d}\vec{S} \]

Lapace 算子

\[ \Delta = \vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla} = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \] 满足 Laplace 方程.

调和函数

满足 \(\Delta u = 0\) 的函数 \(u(x, y, z)\). e.g.: \[ u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \]