谜の章 常微分方程
目录
1. 常微分方程
设有 \(y = y(x) = f(x)\). 基本概念:
- 一元方程 \(F(x, y, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \ldots, \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n})=0\)
- 导数的最高阶为 n,则称方程为 n 阶微分方程.
1.1. 解
- 通解(常数 C 待定)
- 特解(常数 C 一定).
1.2. 一阶微分方程
- 可分离变量方程
- 线性微分方程
- 全微分方程
1.3. 二阶常数微分线性方程
\[ y^{\prime\prime} + a_1y^{\prime} + a_2 y = Q(x) \]
2. 求解方法:
- 令 \(Q(x) \equiv 0\), 求 \(y^{\prime\prime} + a_1y^{\prime} + a_2 y = 0\) 的通解 \(y_1(c_1, c_2)\).
- 求 \(Q(x) \ne 0\), \(y^{\prime\prime} + a_1y^{\prime} + a_2 y = Q(x)\) 的一组特解 \(y^{*}\).
则 \( y^{\prime\prime} + a_1y^{\prime} + a_2 y = Q(x) \) 的通解为: \[ y = y_1(c_1, c_2) + y^* \]
2.1. 通解 \(y_1(c_1, c_2)\) 解法: 特征根方法
- 其特征方程: \(r^2 + a_1 r + a_2 = 0\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 内求解.
- 要点: 特征方程 \(r^2 + a_1 r + a_2 = 0\)
| 方程的根 | 通解形式 |
|---|---|
| \(r_1\ne r_2\), \(r_i\in \mathbb{R}\) | \(y=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\) |
| \(r_1 = r_2\in\mathbb{R}\) | \(y=(C_1 + C_2 x)e^{rx}\) |
| \(r_{1, 2} = \alpha + i\beta\) | \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\) |
2.2. 特解 \(y^* \) 解法
记 \(y^{\prime\prime} + a_1y^{\prime} + a_2 y = f(x)\)
| \(f(x)\) 形式 | 根与参数关系 | \(y^* \) 的形式 |
|---|---|---|
| \(p_m(x)e^{\alpha x}\) | \(\alpha\) 非特征方程的根 | \(e^{\alpha x}Q_m(x)\) |
| \(\alpha = r_1 \ne r_2\) 为单根 | \(xe^{\alpha x}Q_m(x)\) | |
| \(\alpha = r_1 = r_2\) 为二重根 | \(x^2e^{\alpha x}Q_m(x)\) | |
| \(p_m(x)e^{\alpha x}g(\beta x)\) | \(\alpha \pm i\beta\) 非根 | \(e^{\alpha x}G(x)\) |
| \(\alpha \pm i\beta\) 是根 | \(xe^{\alpha x}G(x)\) |
其中 \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(g\) 为 \(\sin\) 或 \(\cos\), \(G\) 为 \([R_m(x) \cos {\beta x} + S_m(x) \sin{\beta x}]\).