卢瑟福模型

质子质量与电子质量之比: \[\frac{m_p}{m_e} = 1.836 \times 10^3\]

汤姆孙模型

• 原子内正电荷均匀分布,
• 电子分布在同心环上,
• 环上质能放只有限个电子.

α 电子轰击金箔实验, 卢瑟福提出核式结构模型.

卢瑟福模型

正电荷集中在占原子大小万分之一的小范围内.

两模型的不同之处:

左为汤姆生模型; 右为卢瑟福模型. 汤姆生模型无法解释实验中发生大角偏转为何如此之高.

电子电荷常数的一种有用表示法: \[\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 1.44 \text{fm MeV}\] 其中 1fm = 10^-6nm = 10^-15m.

库仑散射公式: \[b = \frac{a}{2}\cot \frac{\theta}{2}, a=\frac{Z_1Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0 E}.\] 推导中用了四个假定.

靶核静止: 实际实验中不可能,因为总有反冲作用.

修正: 把 θ 理解为质心系散射角 θ_c, E 理解为质心系能量 E_c. \[E_c = \frac{1}{2}m_{\mu}v^2,\; \mu_{\mu} = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{m^{\prime}} \right) = \frac{m m^{\prime}}{m + m^{\prime}}. \] \(m^{\prime}\) 为靶核质量.

当入射粒子以速度 v 入射时, 靶核近似不动, \(E_L = mv^2 /2\). 可得: \[E_c = \frac{m^{\prime}}{m + m ^{\prime}} E_L.\] 显然当 \(m \ll m^{\prime}\) 时上述修正可忽略.

要得到大角度散射,必须在很小的范围内进行.

库仑散射公式在实验中无法应用: 碰撞参量 b 实际实验中无法测量. 为了能与实验结果比较,故需要卢瑟福公式.

由库仑散射公式可得, b 与 θ 存在大致呈反比的对应关系. 可由 \(b \sim b + \mathrm{d}b\) 得 \(\theta \sim \theta - \mathrm{d}\theta\). 即以 b 为内半径, \(b + \mathrm{d}b\) 为外半径的环形面积. α 粒子会散射到角度在 \(\theta \sim \theta-\mathrm{d}\theta\). 的空心圆锥体之中.

设薄箔面积为 A, 极薄以致薄箔中原子对射来的 α 原子前后不遮蔽, 环的面积为 \(2\pi b |\mathrm{d}b|\). 则粒子打在环上的概率为: \[ \frac{2\pi b |\mathrm{d}b|}{A} = \frac{2\pi}{A} \left( \frac{a}{2}\cot \frac{\theta}{2} \right) \left| -\frac{a}{2}\csc^2\frac{\theta}{2}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta\right|= \frac{a^2 2\pi\sin\theta \mathrm{d}\theta}{16A\sin^4 \frac{\theta}{2}}.\]

由上图可知, 空心圆锥体立体角与 \(\mathrm{d}\theta\) 有如下关系: \[\mathrm{d}\Omega = \frac{2\pi r\sin\theta\cdot r\mathrm{d}\theta}{r^2} = 2\pi\sin\theta \mathrm{d}\theta. \] 可得 \[\frac{2\pi b |\mathrm{d}b|}{A} = \frac{a^2 \mathrm{d}\Omega}{16A \sin^4 \frac{\theta}{2}}.\]

一薄箔上有许多原子核, 故一个 α 原子打在薄箔上以 \(\theta \sim \theta-\mathrm{d}\theta\). 出射的概率是: \[\mathrm{d}p(\theta) = \frac{a^2 \mathrm{d}\Omega}{16A\sin^4 \frac{\theta}{2}}nAt\] 其中 A 是薄箔面积, t 是薄箔厚度, n 是薄箔单位面积原子核数. 所以在 \(\mathrm{d}\Omega\) 方向上观测到的 α 粒子数是: \[ \mathrm{d}N^{\prime} = N \frac{a^2 \mathrm{d}\Omega}{16 A \sin^4 \frac{\theta}{2}} nAt = ntN \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z_1Z_2e^2}{4E} \right)^2 \frac{\mathrm{d}\Omega}{\sin^4 \frac{\theta}{2}}.\]

定义微分截面: \[ \sigma_c(\theta)\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z_1Z_2e^2}{4E} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 \frac{\theta}{2}}.\] 此即 卢瑟福公式, \(\sigma_c(\theta)\) 具有面积的量纲, 物理意义是 α 粒子散射到 θ 方向单位立体角内每个原子的有效散射截面. \(\sigma_c(\theta)\) 单位是 m²/sr, 取 b (靶恩) 为截面单位, 1b = 10^-28m².

若抛弃原子核不动的假定, 卢瑟福公式仍成立, 只需要将式中 θ, E 换成 θ_c, E_c.

盖格马斯顿实验

\[\mathrm{d}N^{\prime}\sin^4 \frac{\theta}{2} = ntN \left( \frac{a}{4} \right)^2 \mathrm{d}\Omega.\]

原子核大小估计

卢瑟福公式中将原子核视作点, 且只考虑库仑力. 但当入射粒子与原子核靠的足够近时, 作用力不再是纯库仑力, 由计算可知, 在纯库仑力条件下, 两粒子最短距离 r_m = a, 实际原子核距离远小于 \(a=\frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0}\) 时, 卢瑟福公式成立.

小角处的卢瑟福公式

小角相当于打得碰撞参量 b, 当 b 到达原子大小时, 不考虑核外电子屏蔽的卢瑟福公式线卷不再正确.

180 度处的卢瑟福公式

无法解释原子稳定性;无法解释原子同一性;无法解释原子再生性.