刚体

定点运动

有一点固定不动(基点),其他质点在满足刚体要求下随意运动.

刚体定点运动/转动

刚体中一点不动,刚体绕这一点任意转动.

建立平动系与本体系变换关系: 设平动系 \(\Sigma\) 的直角坐标基矢量为 \(\vec{e}_i\), 本体系 \(\Sigma^{\prime}\) 的直角坐标基矢量为 \(\vec{e}_i^{\prime}\), \(i = 1, 2, 3.\)

任取矢量 \(\vec{g} = g_i\vec{e}^i = g_i^{\prime}{\vec{e}^{\prime}}^i\). 可得: \[g_i^{\prime} = \vec{e}_i^{\prime}\cdot \vec{g} = g^j\vec{e}_i\cdot \vec{e}_j = a_{ij}g^j.\] 其中 \(a_{ij} = \vec{e}_i^{\prime}\cdot \vec{e}_j\), 称为 \(\Sigma^{\prime}\) 相对 \(\Sigma\) 的方向余弦. 易证: \[a_{ij}a_{\;k}^i = \delta_{kj}.\]

矩阵形式有: \[\vec{g}_{\Sigma} = \begin{bmatrix}g_1\\ g_2\\ g_3\end{bmatrix}, \;\vec{g}_{\Sigma^{\prime}} = \begin{bmatrix}g_1^{\prime}\\ g_2^{\prime}\\ g_3^{\prime}\end{bmatrix}, \;\mathcal{A} = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{bmatrix}.\] 变换矩阵 \(\mathcal{A}\) 满足 \(\vec{g}_{\Sigma^{\prime}} = \mathcal{A}\vec{g}_{\Sigma}\). 另外有: \[a_{ij}a^i_{\;k} = \delta_{kj}\Rightarrow \mathcal{A}^T\mathcal{A} = \mathcal{A}\mathcal{A}^T = \mathbf{I}_n.\] 即 \(\mathcal{A}\) 为正交矩阵, \(\vec{g}_{\Sigma^{\prime}} = \mathcal{A}\vec{g}_{\Sigma}\) 为正交变换. 定点运动可以用一个正交矩阵表示.

由前述, 定点运动可以用 SO(3) 矩阵 \(\mathcal{A}\) 来描述. \(\mathcal{A}\) 的矩阵元 \(A_{ij} = a_{ij}\) 为方向余弦, 显然九个方向余弦并不独立. \(a_{ij}a^i_{\;k}=\delta_{kj}\) 共有六个方程, ⇒ \(9-6=3\) 个独立参数.

由前 Euler 定理,任何定点运动的效果等价于一个过基点的定轴转动. 描述轴的取向需要两个参数 \((\alpha,\beta)\), 绕轴转过角度一个参数 \(\gamma\). 由于 \((\alpha,\beta)\) 难以确定, 实际上用三个 Euler 角 \((\phi,\theta,\psi)\).

Euler 角的定义

有正则变换 \((x, y, z)\Rightarrow (x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})\). 为三个正则变换之积:

1. 坐标轴 \((x, y, z)\) 绕 \(z\) 轴旋转 \(\phi\), \(\mathcal{S}(x, y, z)\stackrel{\mathcal{D}}{\Rightarrow} \mathit{\Sigma}(\xi,\eta,\zeta)\). 变换矩阵\(\mathcal{D}\) 为: \[\mathcal{D} = \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
2. 坐标系 \((\xi,\eta,\zeta)\) 绕 \(\xi\) 轴旋转 \(\theta\), \(\mathit{\Sigma}(\xi,\eta,\zeta)\stackrel{\mathcal{C}}{\Rightarrow} \mathit{\Sigma}^{\prime}(\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta^{\prime}).\) 变换矩阵 \(\mathcal{C}\) 为: \[\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.\]
3. 坐标轴 \((\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta^{\prime})\) 绕 \(\zeta^{\prime}\) 旋转\(\psi\), \(\mathit{\Sigma}^{\prime}(\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta^{\prime}) \stackrel{\mathcal{B}}{\Rightarrow} \mathcal{S}^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}).\) 变换矩阵 \(\mathcal{B}\) 为: \[\mathcal{B} = \begin{pmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

故\((x, y, z)\Rightarrow (x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})\) 的变换矩阵 \(\mathcal{A}_E = \mathcal{B}\mathcal{C}\mathcal{D}\) 为: \[\mathcal{A}_E = \begin{pmatrix} \cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\psi\sin\phi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\sin\psi\cos\phi & \sin\psi\sin\theta \\ -\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\cos\psi\sin\phi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\psi\cos\phi & \cos\psi\sin\theta \\ \sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{pmatrix}.\] 因为 \(\mathcal{A}_E\) 是正交矩阵, 故 \(\mathcal{A}_E^{-1} = \mathcal{A}_E^T\).

由前述可得 Euler 叫的变化范围:

1. 进动角 \(\phi\): \([0, 2\pi]\),
2. 章动角 \(\theta\): \([0, \pi]\),
3. 自转角 \(\psi\): \([0, 2\pi]\).

无穷小时间内刚体取向的无穷小变化.

刚体的一个质点 \(i\) 绕单位矢量 \(\vec{n}\) 确定的转轴作 定轴转动, 当转过无穷小角度 \(\delta\theta\) 时, 质点位置矢量变化 \(\delta\vec{r}_i\) 有: \[|\delta \vec{r}_i| = \left| \vec{r}_i^{\prime} - \vec{r}_i \right| = r_i\sin\alpha\delta\theta = \left| \left( \vec{n}\times \vec{r}_i \right)\delta\theta \right|.\] \[\delta \vec{r}_i = \delta\theta\left( \vec{n}\times \vec{r}_i \right).\]

设刚体绕轴 \(\vec{n}\) 逆时针旋转 \(\mathrm{d}\Phi\), 一般矢量 \(\vec{g}\) 变为 \(\vec{g}^{\prime} = \vec{g} + \mathrm{d}\Phi \vec{n}\times \vec{g}\). 记 \(\mathrm{d}\vec{\Omega} = \mathrm{d}\Phi \vec{n}\), \(\vec{g}^{\prime} = \vec{g}\mathrm{d}\vec{\Omega}\times \vec{g}\). 连续分别绕 \(\vec{n}_1, \vec{n}_2\) 做两次定轴转动, 则:

\begin{aligned} \vec{g}^{\prime\prime} &= \vec{g}^{\prime} + \mathrm{d}\vec{\Omega}_2\times\vec{g}^{\prime}\\ &= \vec{g} + \left( \mathrm{d}\vec{\Omega}_1 + \mathrm{d}\vec{\Omega}_2 \right) \times \vec{g}\\ &= \vec{g} + \mathrm{d}\vec{\Omega}_{12} \vec{g}. \end{aligned}

上式省去高阶小量. 易证连续的无限小转动是可对易的: \(\mathrm{d}\vec{\Omega}_{12} = \mathrm{d}\vec{\Omega}_{21}\).

描述连续的无穷小定轴转动的矢量等于描述各个无限小转动的矢量和: \(\mathrm{d}\vec{\Omega}_{12} = \mathrm{d}\vec{\Omega}_1 + \mathrm{d}\vec{\Omega}_2\).

无穷小定点运动可以由正交矩阵描述. \[\vec{g}_{\Sigma}^{\prime} = \mathcal{A}\vec{g}_{\Sigma} = (\mathcal{I}_n + \varepsilon)\vec{g}_{\Sigma}.\] 其中 \(\varepsilon\) 为一个无穷小矩阵. 忽略高阶小量, 有: \[ \mathcal{A}_1\mathcal{A}_2 = (\mathcal{I}_n + \varepsilon_1)(\mathcal{I}_n + \varepsilon_2) = I_n + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = \mathcal{A}_2 \mathcal{A}_1.\] 可得: 两个连续的无限小定点运动也是可对易的. (仅对于可略去二阶小量的无限小定点运动而言)

\(\mathcal{A}\) 正交, \(\mathcal{A}\mathcal{A}^T = \mathcal{I}_n\),可得: \[(\mathcal{I}_n +\varepsilon)(\mathcal{I}_n + \varepsilon^T) = \mathcal{I}_n + \varepsilon + \varepsilon^T = \mathcal{I}_n.\] 即 \(\varepsilon^T = -\varepsilon\), \(\varepsilon\) 是反对称矩阵: \[\varepsilon = \begin{pmatrix} 0 & \alpha & \beta \\ -\alpha & 0 & \gamma \\ -\beta & -\gamma & 0 \\ \end{pmatrix}.\] 如上式, 表征\(\varepsilon\)需要三个参量.

对于无穷小定轴转动 \(\vec{g}^{\prime} = \vec{g}+\mathrm{d}\vec{\Omega}\times \vec{g}\), 展开外积:

\begin{aligned} \vec{g}^{\prime} &= \vec{g} + \sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} (\mathrm{d}\Omega_j g_k - \mathrm{d}\Omega_k g_j)\vec{e}_i\\ &= \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n_2g_3 - n_3g_2 \\ n_3g_1 - n_1g_3 \\ n_1g_2 - n_2g_1 \end{bmatrix} \mathrm{d}\Phi \end{aligned}

对于无穷小定点转动, \(\vec{g}^{\prime} = (\mathcal{I}_n +\varepsilon)\vec{g}\), 代入 \(\varepsilon\) 的反对称矩阵形式: \[\vec{g}^{\prime} = \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta g_3 - \alpha g_2 \\ -\alpha g_1 + \gamma g_3 \\ -\gamma g_2 - \beta g_1 \end{bmatrix} \] 联立可得: \[\varepsilon = \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \\ \end{pmatrix}\mathrm{d}\Phi. \] 故可得: 无限小定点转动不仅可以用正交矩阵表示,也可以用一个矢量表示.

三维空间转动群 SO(3) 的所有矩阵可以表示为 \[\mathcal{R}(\vec{\alpha}) = \mathrm{e}^{\vec{\alpha}\cdot \vec{\mathcal{J}}}\] 其中 \(\vec{\alpha} = \alpha \vec{n}\).

设 \(\mathit{\Sigma}\) 和 \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 两参考系有共同原点. \(\mathit{\Sigma}\) 为惯性系, \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 以角速度 \(\vec{\omega}\) 转动. 设质点 \(m\) 的位置矢量为 \(\vec{r}\). 在 \(\mathit{\Sigma}\)-系中有运动方程: \[m \left( \frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \right)_{\mathit{\Sigma}} = \vec{F}.\] 其中 \(\vec{F}\) 为质点上总力. 由矢量的时间变化率可知有: \[\vec{v}_{\text{inner}} = \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}} = \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times \vec{r} = \vec{v} + \vec{\omega}\times \vec{r}. \] 其中 \(\vec{v}_{\text{inner}}\) 表示质点在惯性系 \(\mathit{\Sigma}\) 中的速度, \(\vec{v}\) 表示质点在转动系 \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 中的速度. 从 \(\mathit{\Sigma}\) 和 \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 原点重合可得: \[\vec{r}_{\mathit{\Sigma}} = \vec{r}_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} = \vec{r}\] 其中 \(\vec{r} = x^i\vec{e}_i = {x^{\prime}}^i\vec{e}_i^{\prime}\), 同一矢量在不同系中分量不同. \(\vec{r}\) 在 \(\mathit{\Sigma}\)-系中对时间的二阶导有:

\begin{aligned} \left( \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \right) &= \left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\text{inner}}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}}\\ &=\left( \frac{\mathrm{d} \vec{v}_{\text{inner}}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times \vec{v}_{\text{inner}}\\ &= \left( \frac{\mathrm{d}\left( \vec{v}+\vec{\omega}\times \vec{r} \right)}{\mathrm{d}t} \right) _{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times\left( \vec{v}+\vec{\omega}\times \vec{r} \right)\\ &= \left( \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \left( \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} \times \vec{r} + \vec{\omega}\times \left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times \vec{v} + \vec{\omega}\times \left( \vec{\omega}\times\vec{r} \right)\\ &= \left( \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \left( \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t} \right)\times\vec{r} + 2\vec{\omega}\times\vec{v} + \vec{\omega}\times \left( \vec{\omega}\times\vec{r} \right). \end{aligned}

质点在 \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 系加速度有: \(\vec{a} = \left( \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}}\) 且 \(\left( \frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}} = \frac{\vec{F}}{m}\). 可得: \[m\vec{a} = \vec{F} + 2m\vec{v}\times\vec{\omega} + m\vec{\omega}\times \left( \vec{r}\times \vec{\omega}\right) + m\vec{r}\times \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\] 可得: 对转动系 \(\mathit{\Sigma}^{\prime}\) 的观察者而言, 质点除了受到实际力 \(\vec{F}\), 还受到了以下几个等效力:

1. 科里奥利力: \(2m \vec{v}\times\vec{\omega}\),
2. 离心力: \(m\vec{\omega}\times \left( \vec{r}\times\vec{\omega} \right)\);
3. 欧拉力: \(m \vec{r}\times \mathrm{d}\vec{\omega}/\mathrm{d}t\).

刚体的运动方程总可以写成: \[\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t} = \vec{F},\; \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{N}.\]

• 第一个方程仅在惯性系中成立,
• 第二个方程在计算角动量和力矩的参考点静止于惯性系/取在刚体质心时成立.

上式中矢量 \(\vec{L}\) 为总角动量.

角动量

记惯性系中静止参考点或质心为\(O\),则总角动量表示为: \[\vec{L} = \vec{r}_k\times\vec{p}^k = m\vec{r}_k\times \vec{v}^k, \;\vec{v}_k = \left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}}.\] 由前述: \[\left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}} = \left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times \vec{r}_k = \vec{\omega}\times \vec{r}_k.\] \(\vec{r}_k\) 在惯性系中为常矢量, 故对时间导数取零. 可得:

\begin{aligned} \vec{L} &= m \vec{r}_k\times \vec{v}^k = m \vec{r}_k\times \left( \vec{\omega}\times \vec{r}_k \right)\\ &=m \left[ \left( \vec{r}_k\cdot\vec{r}^k \right)\vec{\omega} - \left( \vec{\omega}\cdot \vec{r}_k \right)\vec{r}^k \right]\\ &=m \left[ \left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{x}^{(k)} \right)\vec{\omega} - \vec{x}^{(k)}\left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{\omega} \right) \right]\\ &=m \left[ \left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{x}^{(k)} \right)\mathbf{I}_3 - \vec{x}^{(k)}\vec{x}_{(k)}^T\right]\vec{\omega}. \end{aligned}

惯性张量

定义刚体对 \(O\) 的惯性张量为 \(\mathbb{I}\): \[\mathbb{I} = m\left[ \left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{x}^{(k)} \right)\mathbf{I}_3 - \vec{x}^{(k)}\vec{x}_{(k)}^T\right].\] 其中 \(I_{ij} = m_k \left[ {r^k}^2\delta_{ij} - x_i^{(k)}x_j^{(k)} \right]\). 易证 \(I_{ij} = I_{ji}\), 即 \(\mathbb{I}^T = \mathbb{I}\), 惯性矩阵是对称阵.

将刚体看作连续体,则有: \[\vec{r}_k\rightarrow \vec{r},\;\sum_{k=1}^N m_k\rightarrow\int_V\rho\mathrm{d}V.\] 其中 \(\rho\) 为质量密度. 此时惯性张量有: \[I_{ij} = \int \left( r^2\delta_{ij} -x_ix_j \right)\rho \mathrm{d}V.\]

动能

\[T = \frac{1}{2}m_k \dot{\vec{r}}_k\cdot \vec{v}^k = \frac{1}{2}m_k\dot{\vec{r}}_k\cdot \left( \vec{\omega}\cdot \vec{r}_k \right)= \frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot \vec{L}.\] 由 \(\vec{L} = \mathbb{I}\vec{\omega}\) 可得 \[T = \frac{1}{2}\vec{\omega}^T \mathbb{I}\vec{\omega} = \frac{1}{2}I_{\vec{n}}\omega^2.\] 其中 \(I_{\vec{n}} = m^k d_k^2\), \(d_k\) 为 \(\vec{r}_k\) 到转轴 \(\vec{n}\) 的距离. 是故不仅角速度大小影响动能,转轴去向也影响动能.

只有在定轴转动时, 定轴惯量是个常量. 但是, 定点转动是转轴不断变化的定轴转动. 即使角速度不变, 动能也可能改变.

平行轴定理

相对于某基点\(O\)的惯量矩阵等于: 相对于质心的惯量矩阵加上把所有质量集中于质心位置再相对于\(O\)的惯量矩阵.

垂直轴定理

对平面薄层,相对于平面内任意两个相互垂直的定轴惯量之和, 等于相对于过这两定轴的交点且垂直于平面的垂直轴的惯量.

会聚轴定理

相对于过基点 \(O\) 的某定轴 \(\vec{n}\) 惯量 \(I_{\vec{n}}\) 过基点的惯量矩阵 \(\mathbb{I}\), 有: \[I_{\vec{n}} = \vec{n}^T \mathbb{I} \vec{n}.\]

已知: \[\vec{L} = \mathbb{I}\vec{\omega}, \;T = \frac{1}{2}\vec{\omega}^T \mathbb{I}\vec{\omega}, \;\mathbb{I} = m \left[ \left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{x}^{(k)} \right)\mathbf{I}_{3} - \vec{x}^{(k)}\vec{x}_{(k)}^T\right].\]

惯量矩阵的矩阵元依赖于坐标原点和坐标取向. 则尝试通过适当的坐标取向使得 \(\mathbb{I}\) 为对角阵. \[\mathbb{I} = m \left[ \left( \vec{x}_{(k)}^T\vec{x}^{(k)} \right)\mathbf{I}_{3} - \vec{x}^{(k)}\vec{x}_{(k)}^T\right]\Rightarrow \mathbb{I}^{\prime} = m \left[ \left( {\vec{x}^{\prime}}_{(k)}^T {\vec{x}^{\prime}}^{(k)} \right) \mathbf{I}_{3} - {\vec{x}^{\prime}}^{(k)}{\vec{x}^{\prime}}_{(k)}^T\right]. \] 其中 \({\vec{x}^{\prime}}^{(k)} = \mathcal{A}\vec{x}^{(k)}\), \({{\vec{x}^{\prime}}^{(k)}}^T = {\vec{x}^{(k)}}^T \mathcal{A}^T\). \(\mathcal{A}\) 为正规变换, 满足 \(\mathcal{A}^T\mathcal{A} = \mathcal{A}\mathcal{A}^T = \mathbf{I}_n\), 可得: \[\mathbb{I}^{\prime} = \mathcal{A}\mathbb{I}\mathcal{A}^T = (\mathcal{A}^T)^{-1}\mathbb{I}\mathcal{A}^T.\] 当 \(\mathbb{I}^{\prime}\) 为对角阵时, 这个问题转化为求 \(\mathbb{I}\) 的本征值.

新坐标系中的角动量 \(\vec{L}^{\prime}\) 有:

\begin{aligned} \vec{L}^{\prime} &= \mathcal{A}\vec{L} = \mathcal{A}\mathbb{I}\vec{\omega}\\ &= \mathcal{A}\mathbb{I}\mathcal{A}^T\mathcal{A}\vec{\omega} = \mathbb{I}^{\prime}\vec{\omega}^{\prime}\\ &= \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} \omega^{\prime}_1 \\ \omega^{\prime}_1 \\ \omega^{\prime}_1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} I_1\omega^{\prime}_1 \\ I_2\omega^{\prime}_1 \\ I_3\omega^{\prime}_1 \end{bmatrix}. \end{aligned}

动能有: \[T = \frac{1}{2}\vec{\omega}^T\mathbb{I}\vec{\omega} = \frac{1}{2}{\vec{\omega}^{\prime}}^T\mathbb{I}\vec{\omega}^{\prime} = \frac{1}{2}\left( I^i{\omega^{\prime}_i}^2 \right)\] 其中 \(i = 1, 2, 3\).

主轴系

使得 \(\mathbb{I}\) 为对角阵的坐标系称为 主轴系.

• 其坐标轴为 惯量主轴
• 对相应主轴的转动惯量称为 主惯量.

\[\begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} = \mathbb{I}^{\prime} = (\mathcal{A}^T)^{-1}\mathbb{I}\mathcal{A}^T.\] ⇒ 求 \(\mathbb{I}\) 的本征值.

对称面

对称面将刚体方程具有镜面对称性的两部分.

对称面定理

选取对称面上的点作为基点, 则必有一根主轴垂直于该对称面.

对称轴定理

选取对称轴上一点作为基点, 则对称轴是一根主轴, 在垂直于对称轴平面上, 任何两根相互正交的轴都构成主轴, 且对应的主惯量相等.

由会聚轴定理可知: 已知 \(O\) 点惯量矩阵 \(\mathbb{I}\), 过 \(O\) 点定轴 \(\vec{n}\) 转动惯量 \(I_{\vec{n}} = \vec{n}^T\mathbb{I}\vec{n}\). 刚体绕 \(\vec{n}\) 以角速度 \(\omega\) 转动时,

• 角动量沿 \(\vec{n}\) 方向分量为: \(L_{\vec{n}} = I_{\vec{n}}\omega\),
• 动能为: \(T = \frac{1}{2}I_{\vec{n}}\omega^2\).

需要尽快求得 \(I_{\vec{n}}\) ⇒ 惯量椭球.

从基点出发, 沿任意转轴\(\vec{n}\)方向取 \(P\) 点, 使得有: \[\vec{OP} = \vec{x} = \frac{\vec{n}}{\sqrt{I_{\vec{n}}}}. \;\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \;\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}.\] 易得: \[\vec{x}^T\mathbb{I}\vec{x} = \frac{\vec{n}^T\mathbb{I}\vec{n}}{I_{\vec{n}}} = 1\Rightarrow \vec{x}^T\mathbb{I}\vec{x} = I_{ij}x^ix^j = 1.\]

改变转轴 \(\vec{n}\) 方向, \(P\) 点集合满足的方程为 椭圆方程. 其描述的椭球面为 惯量椭球, 满足以下性质:

• 从基点出发, 沿任意方向 \(\vec{n}\) 画一条直线, 直线与惯量椭球面的交点到原点距离的平方的倒数, 就是刚体绕定轴\(\vec{n}\)的转动惯量. \[\vec{x}=\frac{\vec{n}}{\sqrt{I_{\vec{n}}}}\Rightarrow \vec{x}^T\vec{x} = \frac{\vec{n}^T\vec{n}}{I_{\vec{n}}} = \frac{1}{I_{\vec{n}}} = \left| \vec{x} \right|^2.\]
• 设转轴方向 \(\vec{n}\) 交惯量椭球于点 \(N\), 称为 极点\(N\), 则: \[\vec{x}_N =\frac{\vec{n}}{\sqrt{I_{\vec{n}}}} = \frac{1}{\sqrt{I_{\vec{n}}}}\frac{\vec{\omega}}{\omega} = \frac{\vec{\omega}}{\sqrt{2T}}.\] 其中 \(T = \frac{1}{2}I_{\vec{n}}\omega^2\).

又因为 \(\vec{x}^T\mathbb{I}\vec{x} - 1 = 0\), 可得: \[\nabla \left( \vec{x}^T \mathbb{I}\vec{x} -1 \right)\big{|}_N = \cdots = \frac{2\vec{L}}{\sqrt{2T}}.\] \[r_L = \vec{x}_N \cdot \frac{\vec{L}}{L} = \frac{\sqrt{2T}}{L} \Rightarrow L = \frac{\sqrt{2T}}{r_L}.\]

已知 \[\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{N} = \vec{r}_l\times\vec{F}^l.\] 其中 \(\vec{r}_l, \vec{F}_l\) 为刚体质点 \(m_l\) 位置矢量与所受外力. 此角动量为惯性系或平动系上观察到的角动量. 本体系有: \[\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \left( \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} \right)_{\mathit{\Sigma}^{\prime}} + \vec{\omega}\times \vec{L} = \vec{N}.\] 可得: 本体系中惯量矩阵不随时间改变.

若取惯量主轴为直角坐标系,则主惯量也不随时间改变.故整理得:

\begin{cases} I_1\dot{\omega}_1 - \omega_2\omega_3(I_2 - I_3) = N_1,\\ I_2\dot{\omega}_2 - \omega_3\omega_1(I_3 - I_1) = N_2,\\ I_3\dot{\omega}_3 - \omega_1\omega_2(I_1 - I_2) = N_3. \end{cases}

上式即 Euler 动力学方程.