矩阵和线性方程组

• 主对角线;
• 对角元素,非对角元素.
• 实矩阵;
• 复矩阵.
• 同型矩阵.

定义

Kroncker 记号

\[\delta_{ij} = \begin{cases} 1, &i = j,\\ 0 ,&i\ne j.\end{cases}\]

几种特殊矩阵:

• 单位矩阵 \(\mathbf{I}_n = \left( \delta_{ij} \right)_{n\times n}\),
• 对角阵 \(\left( \delta_{ij}d_i \right)_{n\times n}\),
• 上下三角矩阵.

加法与数乘

(满足分配律与结合律).

转置

• \((A^T)^T = A\),
• \((A + B)^T = A^T + B^T\),
• \((\lambda A^T) = \lambda A^T\).

共轭

复矩阵 \(A = \left( a_{ij} \right)_{m\times n}\), 其共轭矩阵为 \(\bar{A} = \left( \bar{a}_{ij} \right)_{m\times n}\). 显然有

• \(\bar{\bar{A}} = A\)
• \((\bar{A})^T = \bar{A^T}\), 记为共轭转置 \(A^{\dagger}\).

乘法

• \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), \(\mathbf{I}_m A = A \mathbf{I}_n = A\).
• 乘法满足分配律和结合律, 不满足交换律.

• 齐次;非齐次.
• 平凡解;非平凡解.
• 系数矩阵;右端向量.

\(n\)阶方阵 \(A\) 可逆等价于 \(|A|\ne 0\).

伴随矩阵 (注意其排列方式).

矩阵可逆性质: 已知 \(A\) 可逆

• \(A^T, A^{\dagger}\) 可逆, 且
  • \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\),
  • \((A^{\dagger})^{-1} = (A^{-1})^{\dagger}\).
• \(B\) 与 \(A\) 同阶且可逆, 则 \(AB\) 可逆, 且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
• \(\left( A^k \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^k = A^{-k}\).

线性相关;线性无关;线性表出.

线性相关有关性质:

• 若向量组 \(\{\vec{a}_j\}\) 有若干个向量线性相关, 则整个向量组也线性相关.
• 前一性质等价于: 若向量组 \(\{\vec{a}_j\}\) 线性无关, 其中任意个向量也线性无关.
• 向量组 \(\{\vec{a}_j\}\) 线性相关等价于: 存在 \(\vec{a}_i\in {\vec{a}_j}\), \(\vec{a}_i\) 能通过其他向量线性表出.
• 若向量组 \(\{\vec{a}_j\}\) 线性无关, 且向量 \(\vec{b}\) 可由 \(\{\vec{a}_j\}\) 线性表出, 则表示唯一.

秩

任一向量组的两个极大无关组向量个数相同,称为秩.

任一无关组可以扩充为极大无关组.

等价

\(S_1\) 与 \(S_2\) 等价 ⇔ \(\text{rank}\;S_1 = \text{rank}\; S_2 = \text{rank}\; (S_1 \cup S_2)\).

设 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), \(B = (b_{ij})_{n\times p}\). 有:

1. \(\text{rank}\;A = \text{rank}\;A^T\),
2. \(\text{rank}(A+B) \le \text{rank}\;A + \text{rank}\;(B)\),
3. \(\text{rank}(AB) \le \min \{\text{rank}\;A, \text{rank}\;B\}\).
4. 设 \(P\) 是 \(m\) 阶可逆矩阵, \(Q\) 是 \(n\) 阶可逆矩阵, \(\text{rank}(PA) = \text{rank}(AQ) = \text{rank}\;A\),
5. \(\text{rank}(AB) \ge \text{rank}\;A + \text{rank}\;B - n\).

阶梯形;最简阶梯形.

线性方程组 \(Ax=b\) 有解等价于: \(b\) 与 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性相关. 即: \(\text{rank}(\alpha) = \text{rank}(\alpha, b)\).

换言之, \(Ax=b\) 有解 ⇔ \(\text{rank}(A|b) = \text{rank}(A)\).

\(Ax=b\) 有唯一解 ⇔ \(\text{rank}(A|b) = \text{rank}(A) = n\). (列向量线性无关, 列满秩)

任一解可以表示成特解+齐次方程的解.

回代法;最简阶梯型.