Imaging in geomertrical optics

设

• \(F\) 为点光源, 入射到界面上任一 \(A\) 点, 穿过界面后变为平行光.
• \(D\) 为过 \(A\) 点平行光与垂直线交点.

由于光程相等, 故有 \[ n_i(\overline{FA}) + n_t(\overline{AD})=\text{const}\] \[\Rightarrow(\overline{FA}) + \frac{n_t}{n_i}(\overline{AD})=\text{const}.\]

1. \(\frac{n_t}{n_i} > 1\),
   • \(A\) 的轨迹为双曲线
   • 入射面为双曲面 (hyperboloidal surface)

   • 偏心率 \(e=n_t/n_i>1\)

     偏心率越大, 双曲线越平. (折射率差别越大,表面需要的弯曲度越小)

2. \(\frac{n_t}{n_i} < 1\)
   • 入射面为椭球面(ellipsoidal surface)
   • 偏心率 \(e=n_t/n_i>1\), 空气中平行光入射到介质中汇聚在后焦点.

分类

• Convex
• Concave

成像公式

\[\frac{n_1}{l_o}+\frac{n_2}{l_i}=\frac{1}{R}\left( \frac{n_2s_i}{l_i}-\frac{n_1s_o}{l_o} \right)\] 其中 \(l_o, l_i\) 为角度 \(\phi\) 的函数, 点光源出射光不会汇聚在同一点, 产生球面像差.

小角度时 \(\phi = \sin\phi, \cos\phi\approx 1, l\approx s\), 故有

傍轴条件

此时 \[\frac{n_1}{s_o}+\frac{n_2}{s_i}=\frac{n_2-n_1}{R}\]

焦距

• 物方焦点 \(s_i\rightarrow\infty\) \[f_o = \frac{n_1}{n_2 - n_1}R\]
• 像方焦点 \(s_o\rightarrow\infty\) \[f_i = \frac{n_2}{n_2 - n_1}R\]

Virtual image; virual object

符号约定: 物方, 像方焦距是特殊的物, 像距, 其符号和 \(s_o, s_i\) 相同.

\[\frac{n_m}{s_{o1}}+\frac{n_m}{s_{i2}} =(n_l-n_m)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right) +\frac{n_ld}{(s_{i1}-d)s_{i1}}\] \(d\rightarrow 0\) 时, 有: \[\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}\cdot \frac{1}{f_i}=\frac{1}{f_o} =\frac{n_l-n_m}{n_m}\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)\] \(n_m\approx 1\) 时, 有: \[\frac{1}{f_i}=\frac{1}{f_o}(n_l-1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)\]

成像作图法

• 光线通过透镜中心点不改变方向

焦平面

• 小角近似下, 不同角度平行光汇聚在 \(\sigma\) 面上
• 傍轴条件下,不同角度平行光汇聚在焦平面上.

牛顿定义的物距 \(x_0\) 与像距 \(x_i\) \[x_o x_i = f^2\]

横向放大率

\[M_T \equiv \frac{y_i}{y_o} = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{f}{x_o}\] 正的 \(M_T\) 代表正像, 反之倒像

纵向放大率

\[M_L = \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_o} = -M_T^2\]

• 照相要求远景、近景均清晰, \(M_L\) 小为宜
• 显微镜要求对不同深度的像有较好的分辨率, \(M_L\) 大为宜.

作图法、分析法

\(d = 0\)时, 组合透镜等效焦距满足: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\]

扩束器 (beam expander)

\(d = f_1 + f_2\) 时, 平行光 → 凹透镜 → 发散光 → 凸透镜 → 平行光

空间滤波+扩束(spatial-filter arrangement)

左右反演

平面内抛物线到定点与定直线的距离相等.

定点为抛物线焦点,定直线为抛物线准线.

抛物面镜、双曲面镜的共轭点成像

\[x = R\pm \left( R^2 - y^2 \right)^{1/2} = \frac{y}{2R^2}+o(y^2)\] \[x\rightarrow 0, y^2 = 4fx,\;4f=2R,\;f=\frac{R}{2}.\]

球面镜成像

\[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}, \;f_o=f_i=\pm \frac{R}{2}\]

屈光度

人眼像方焦距的倒数.

Far point

The largest distance that can clearly be seen is called FP. A good human eye can visualize objects that are extremely far away (moon/stars) and the far point is then close to infinty.

In case of nearsightedness, the FP is much smaller than infinty.

Near-point

裸眼可以清晰成像最近物的距离. 正常状态下约为 25cm.

视力的修正

• 近视: 凹透镜修正视力
• 远视: 凸透镜修正视力

人眼明视距离:25cm.

• 折射式
• 反射式

\[\frac{1}{f} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow \frac{\delta f}{f^2} = \delta n \left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right) = \frac{\delta n}{n-1}\frac{1}{f}\] 最终得到 \[\delta f = -f \frac{\delta n}{n-1}\]

设第一个透镜蓝、红光折射率为 \(n_b\), \(n_r\); 第二个透镜的折射率是 \(n_b^{\prime}\), \(n_r^{\prime}\)

• 蓝光等效焦距为:

  \begin{aligned} \frac{1}{F_b} &= \frac{1}{f_b} + \frac{1}{f_b^{\prime}}\\ &=(n_b -1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) +(n_b^{\prime} -1)\left(\frac{1}{R_1^{\prime}}-\frac{1}{R_2^{\prime}}\right)\\ &= \frac{n_b - 1}{n - 1}\frac{1}{f} +\frac{n_b^{\prime} - 1}{n - 1} \frac{1}{f^{\prime}} \end{aligned}
• 红光等效焦距为: \[\frac{1}{F_r} = \frac{n_r - 1}{n - 1}\frac{1}{f} + \frac{n_r^{\prime} - 1}{n - 1} \frac{1}{f^{\prime}}\]

其中

• 焦距: \[\frac{1}{f} \equiv (n-1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right), \;\frac{1}{f^{\prime}} \equiv (n-1) \left( \frac{1}{R_1^{\prime}}-\frac{1}{R_2^{\prime}} \right)\]
• 折射率: \[n\equiv \frac{n_b+n_r}{2}\approx n_y, \;n^{\prime}\equiv \frac{n^{\prime}_b+n^{\prime}_r}{2}\approx n^{\prime}_y\]

消除色差要求 \(F_b = F_r\), 代入得到 \[\frac{n_b - 1}{n - 1}\frac{1}{f}+\frac{n_b^{\prime} - 1}{n - 1} \frac{1}{f^{\prime}} = \frac{n_r - 1}{n - 1}\frac{1}{f}+\frac{n_r^{\prime} - 1}{n - 1} \frac{1}{f^{\prime}}\] \[\Rightarrow \frac{n_b-n_r}{n-1}\frac{1}{f} + \frac{n_b^{\prime}-n_r^{\prime}}{n-1}\frac{1}{f^{\prime}}=0 \Rightarrow \frac{\omega}{f}+\frac{\omega^{\prime}}{f}=0\] 最终得到 \[\omega = \frac{n_b-n_r}{n-1}, \;\omega^{\prime} = \frac{n_b^{\prime}-n_r^{\prime}}{n-1}\]

在二阶近似下,高斯定理有: \[\frac{n_1}{s_o}+\frac{n_2}{s_i} = \frac{n_2-n_1}{R} + h^2 \left[ \frac{n_1}{2s_o}\left( \frac{1}{s_o}+\frac{1}{R} \right)^2 +\frac{n_2}{2s_i}\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{s_i} \right)^2\right]\] 故离轴越远, \(h\)越大, 聚焦越近.