Theory of diffraction

惠更斯原理

介质中波动传播到各点都可以看作发射子波的波源, 而在其后的任意时刻, 这些子波的包络就是新的波前.

菲涅耳

波所到达的任意点都可以看作是新的振动中心, 它们发出球面次波. 空间任意点的振动是包围波源的任意闭合曲面上这些次波在该点的相干叠加.

\(S\) 为点光源, \(\mathrm{d}\tilde{U}(P)\) 为 \(\mathrm{d}\Sigma\) 面元发出次波在 \(P\)产生的复振幅.

\[\mathrm{d}\tilde{U}(P)\propto \mathrm{d}\Sigma, \;\mathrm{d}\tilde{U}(P)\propto \tilde{U}_0(Q), \;\mathrm{d}\tilde{U}(P)\propto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}, \;\mathrm{d}\tilde{U}(P)\propto F(\theta_0, \theta).\] 其中 \(\tilde{U}_0(Q)\) 为子波源 \(Q\) 点的复振幅, \(F(\theta_0, \theta)\) 为倾斜因子.

\[F(\theta_0, \theta) = \frac{1}{2}(\cos\theta_0 + \cos\theta), \; F(0, \theta) = f(\theta) = \frac{1}{2}(1 + \cos\theta).\]

综上有: \[\tilde{U}(P) = K \iint_{\Sigma}\tilde{U}_0(Q)F(\theta_0, \theta) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{d}\Sigma.\]

基尔霍夫证得 \[K = -\frac{\mathrm{i}}{\lambda} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}}{\lambda}.\]

傍轴条件下 \(\theta\approx\theta_0\approx 0, r\approx r_0\Rightarrow F(\theta_0, \theta) = 1\)

故 \(P\) 点总电场 \(\tilde{U}(P)\) 有:

\begin{aligned} \tilde{U}(P) &= K \iint_{\Sigma}\tilde{U}_0(Q)F(\theta_0, \theta) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{d}\Sigma\\ &= - \frac{\mathrm{i}}{\lambda r_0}\iint_{\Sigma}\tilde{U}_0(Q) \mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}\mathrm{d}\Sigma. \end{aligned}

• 近场: 菲涅耳衍射;
• 远场: 夫琅和费衍射.

由惠更斯-菲涅耳原理,接受屏上 \(P\) 点的振动是单缝开口处各点发出的次波在 \(P\) 点的相干叠加.

把单缝开口分割成一系列与缝长平行的等宽细窄条,窄条处振动近似同相位.

设缝宽为 \(b\), 首尾两窄条到像屏上 \(P\) 点振动的光程差 \(\Delta = b\sin\theta\). ⇒ 相位差有 \[\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta = \frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta.\]

• 暗纹: \(I = 0\Rightarrow\sin\beta = 0\Rightarrow\beta = k\pi\) \(\Rightarrow b\sin\theta = k\lambda, k = \pm 1, \pm 2, \ldots\)

• 明纹: \(I\) 取极大 \(\Rightarrow \mathrm{d}I/\mathrm{d}\beta = 0\Rightarrow\tan\beta = \beta\) 解超越方程得: \(\beta = 0\)(sic)\(\pm 1.430\pi, \pm 2.459\pi, \pm 3.471\pi,\ldots\)

  特别注意到 \(\beta = 0\) 处 \(I\) 不可导. \(\beta = 0, I = I_0 = I_{\max}\) 即中央明条纹.

  各解对应光强: \(I_0, 0.0472I_0, 0.0165I_0, 0.0083I_0,\ldots\Rightarrow\) 其他各处光强远远 ≪ 中央光强.

\[\tilde{U}(\theta)\propto \frac{2J_1(x)}{x}\] 其中 \(J_1(x)\) 为第一阶贝塞尔函数.

• 边缘与中心子波源的相位差: \[x = \frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta\] ⇒ 夫琅和费圆孔衍射光强
• 光强: \[I(\theta) = I_0 \left[ \frac{2J_1(x)}{x} \right]^2\] 其中 \(I_0\) 为中心屏光强.
  • ⇒ 第一暗环位置: \[x = \frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta\approx 1.22\pi\]
  • ⇒ 零级亮斑 (艾里斑, 边缘即为第一暗环) 半角宽: \[\Delta\theta = 0.61 \frac{\lambda}{a} = 1.22 \frac{\lambda}{D}.\;(D = 2a)\]

几何光学: 物点 ↔ 像点;

考虑到孔径衍射效应: 物点 ↔ 艾里斑;

两物点相互接近 → 艾里斑重叠 (光强的非相干叠加) → 两像点无法分辨.

成像系统能分辨的视角满足 \(\delta\theta\ge\Delta\theta\).

⇒ 瑞利判据 \[\delta\theta_{\min} = \Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}\]

考虑到数值孔径 \(NA = n\sin\theta\approx nD/2f\)

⇒ 艾里斑半径 \(d = \Delta\theta f = 1.22\lambda f/D = 0.61\lambda/NA.\)

设

• 透光部分宽度为 \(b\), 不透光部分宽度为 \(b^{\prime}\).
• 总的缝数 \(N\), 光栅常数 \(d = b + b^{\prime}\) \(10^{-5} \sim 10^{-6}\text{m}\).
• 相邻两缝间光程差 \(\Delta = (b + b^{\prime}\sin\theta = d\sin\theta\).

设

• 每个缝射出的光波沿衍射角为 \(\theta\) 方向到达像屏幕上 \(P\) 点振幅为 \(A\),
• 相邻缝射出光在 \(P\) 点振动的光程差为 \(\Delta = d\sin\theta\),
• 相位差 \(\delta = 2\pi d \sin\theta/\lambda\).

矢量合成可知: \[A = \overline{BD} = 2R\sin \frac{NR}{2}, \;A_i = 2R\sin \frac{\delta}{2}\] \[\Rightarrow A = A_i \frac{\sin(NR/2)}{\sin(\delta/2)}\] 考虑到 \(A_i\) 是单缝沿衍射角 \(\theta\) 方向在 \(P\) 点振幅, 设 \(\gamma = R/2\). \[\Rightarrow A_i = A_0 \frac{\sin\beta}{\beta} \Rightarrow A = A_0 \frac{\sin\beta}{\beta}\frac{\sin(N\gamma)}{\sin\gamma}\] \[\Rightarrow I = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^2 \left( \frac{\sin(N\gamma)}{\sin\gamma} \right)^2\] 其中 \(I_0\) 是光通过一个单缝中央 \(P_0\) 的强度, \(\beta = \pi b\sin\theta/\lambda\).

光栅的多缝干涉受单缝衍射条纹调制.

• 干涉因子: \[\left( \frac{\sin(N\gamma)}{\sin\gamma} \right)^2\]
• 衍射因子: \[\left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^2\]

角色散率

\[D = \frac{\delta\theta}{\delta\lambda} \] \[d\sin\theta = m\lambda\Rightarrow d\cos\theta\delta\theta = m\delta\lambda,\] \[\Rightarrow D = \frac{\delta\theta}{\delta\lambda} = \frac{m}{d\cos\theta}.\]

1. 光栅的角色散率和级次成正比, \(m\) 越大, 角色散率越大. \(m = 0\) 时, \(D = 0\), 此时不同波长零级谱线重合在一起.
2. 光栅刻线越密 (\(d\) 越小), \(D\) 越大.

色分辨本领

说明光栅对靠得很近的两条谱线能否分辨的能力—运用瑞利判据.

光栅广谱卡能分辨 ⇒ 长波长主极大恰为短波长主极大边第一个极小. \[\Rightarrow\begin{cases}d\sin\theta = m(\lambda + \delta\lambda)\\ Nd\sin\theta = (mN + 1)\lambda\end{cases}\Rightarrow \;m\delta\lambda = \frac{\lambda}{N}.\]

定义色分辨本领为 \[R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN\] \(\Delta\lambda\) 为恰能分辨的波长差.

衍射光栅的问题

透射光栅零级谱无色散但占了入射光能量的相当部分.

解决方案

将衍射因子中央明纹平移至某一级数干涉极大处.

\(Q\) 点子波源辐射到 \(P\) 点的光电场 \(\propto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\), \(\propto F(\theta_0, \theta)\). \[\tilde{U}(P) = K \iint_{\Sigma}\tilde{U}_0(Q)F(\theta_0, \theta)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{d}\Sigma\] \[F(\theta_0, \theta) = \frac{1}{2}(\cos\theta_0 + \cos\theta), K = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}}{\lambda}\]

半波带法

将次级光源分割为一系列环带, 相邻边缘距离 \(P\) 相差半个波长—某环中任意一点源, 在相邻环中都有对应点源距离相差半个波长.

微小环带面积 \(\mathrm{d}\Sigma = \rho \mathrm{d}\varphi 2\pi(\rho\sin\rho)\) \[r^2 = \rho^2 + (\rho+r_0)^2 - 2\rho(\rho+r_0)\] \[\Rightarrow 2r\mathrm{d}r = 2\rho(\rho + r_0)\sin\varphi \mathrm{d}\varphi\] ⇒ 第 \( l \) 个波带在 \(P\) 点的电场贡献为:

\begin{aligned} U_{l}(P) &= K \int_{r_{l-1}}^{r_l} \tilde{U}_0(Q)F_l \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}2\pi \frac{\rho r}{(\rho + r_0)}\mathrm{d}r\\ &= F_l K \tilde{U}_0(Q)2\pi \frac{\rho}{\rho + r_0}\int_{r_{l-1}}^{r_l}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}\mathrm{d}r\\ &= F_l K \tilde{U}_0(Q)\frac{\rho}{\rho + r_0} \frac{2\pi}{\mathrm{i}k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr} \Big{|}_{r_{l-1}}^{r_l}\\ &= F_l \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}\tilde{U}_0(Q)\frac{\rho}{\rho + r_0} \frac{\lambda}{\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr} \Big{|}_{r_{l-1}}^{r_l}\\ &= - F_l \tilde{U}_0(Q)\frac{\rho}{\rho + r_0}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr} \Big{|}_{r_{l-1}}^{r_l}\\ \end{aligned}

\[\begin{cases}r_{l-1} &= r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}\\ r_l &= r_0 + \dfrac{l\lambda}{2}\end{cases} \Rightarrow U_l(P) = 2F_l \tilde{U}_0(Q) \frac{\rho}{\rho + r_0}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr_0}(-1)^l\]

⇒ 第 \(1\) 至 \(m\) 级半波带在 \(P\) 点总光电场: \[\tilde{U}(P) = \tilde{U}_l(P) + \tilde{U}_2(P) + \cdots + \tilde{U}_m(P) = -|\tilde{U}_1(P)| + |\tilde{U}_2(P)| - \cdots + (-1)^m |\tilde{U}_m(P)|.\]

不妨取 \(-\tilde{U}(P) = |\tilde{U}_1(P)| - |\tilde{U}_2(P)| + \cdots + (-1)^m |\tilde{U}_m(P)|\), 相邻两个半波带相干相消.

取 \(F(0, \theta) = f(\theta) = \frac{1}{2}(1 + \cos\theta)\Rightarrow |\tilde{U}_l| < |\tilde{U}_{l-1}|\)

相邻振幅满足近似关系: \(2|\tilde{U}_l| = |\tilde{U}_{l-1}| + |\tilde{U}_{l+1}|\) 故有: \[-\tilde{U}(P) = \frac{1}{2} \left( |\tilde{U}_1| + (-1)^{m+1}|\tilde{U}_m|\right)\]

1. 经过光阑传播:逐渐开大光阑,/𝑃/点光强由强开始,交替亮暗变化.
2. 自由传播: \(\theta\rightarrow\pi\), \(f(\theta)\rightarrow 0\), \(\tilde{U}_m\rightarrow 0\) 故有 \[-\tilde{U}(P)\approx \frac{1}{2}|\tilde{U}_1|\] 总光场总是第一个半波带产生的光场的一半.
3. Poisson 亮斑(经过圆挡板传播) \[\pm \tilde{U}(P) = |\tilde{U}_m| - |\tilde{U}_{m+1}| + \cdots = \frac{1}{2}|\tilde{U}_m|\] 挡板后中心总是圆斑.