利用平板电容器测量介电常数

真空介电常数，又称为真空电容率，或电常数，是一个常见于电磁学的物理常数，符号为 \(\epsilon_0\)，数值上约等于 \(8.854187817\times 10^{-12}\text{F}/\text{m}\) ({National Institute of Standards and Technology}, 2018)。\(\epsilon_0\)出现在麦克斯韦电磁学方程组中，描述了电场、磁场和电磁辐射的性质。由于平板电容器重叠面积、内表面距离和其电容量存在的相对易于计算的函数关系，本文通过测量三个量并通过数据进行理论建模，计算真空介电常数 \(\epsilon_0\)。

在充电的真空平行板电容器中，设两极板自由电荷均匀分布，密度分别为 \(+ \sigma, - \sigma\)。极板面积为 \(S\)，两极板内表面间距为 \(d\)。不妨设两极板处处平行，且满足 \(S \gg d^{2}\)。此时可以认为在电容器内部产生方向垂直于极板，由正极指向负极的电场 \(E=\frac{\sigma_0}{\epsilon_0}\)。则电容量为：

\begin{equation} \label{orgc075715} C = \frac{Q}{U} = \epsilon_0\frac{S}{d}. \end{equation}

上式中 \(C\) 为电容器电容量，\(d\) 为两平行板内表面距离，\(S\) 为两极板重叠面积。该式只在两极板处处平行无倾角，忽略寄生电容、边缘效应（\(S \gg d^{2}\)）时成立。

但实际情况中，平板电容器两平板间可能存在一定的倾角 \(\theta\)，\(S \gg d^{2}\)的条件也不可能总是满足。所以，当边缘效应可忽略（\(S \gg d^{2}\)），两平板一边平行一边带有倾角时（如图 1 所示），电容量为：(游荣义, 1993)

\begin{equation} \label{orgc607fcb} C = \frac{\epsilon_0 S}{d}\left( 1 - \frac{L\theta}{2d} \right) \end{equation}

如图 1，上式中 \(L\) 为不平行两极板边长度，\(\theta\) 为倾角，\(d\) 为板间最短间距。

当边缘效应不可忽略，两极板一边平行一边带有倾角时，电容量为：(江昌龙, 2015)

\begin{equation} \label{orgfff5102} C = \frac{\epsilon_{0}S}{d}\left( 1 - \frac{L\theta}{2d} \right) + \epsilon_{0}D\left\lbrack \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{2\pi - \theta}\ln\left( 1 + \frac{2\pi L}{d} \right) \right\rbrack \end{equation}

上式中 \(D\)为两极板平行两条边的长度。

1. 估测分布电容\(C_0\)：调零后，将电容表接上接线柱，观察到存在 3pF 的示数，猜测为接线柱两端与空气之间形成的分布电容。故估测\(C_0\)为 3pF。
2. 测量鼓轮零点\(TT_0\)：测量五次取平均值得\(TT_{0} = 0.031 \text{mm}\)。

   不确定度

   \[u(TT_0) = \sqrt{u_A^2(TT_{0}) + u_{B2}^2(TT_{0})} = \sqrt{0.000510^2 + 0.00462^2} =0.005\text{mm}\] （鼓轮视作千分尺，仪器不确定度 \(a\) 取作 0.008mm），故 \(TT_0 = 0.031 \pm 0.005\text{mm}\)。

   相对误差

   \(\frac{0.005}{0.031} = 15.1\%\)，可以认为得到的数据误差较大。

   误差分析

   从计算过程可知，对不确定度贡献最大的部分是仪器不确定度 \(u_{B2}\)。\(u_{B2}\) 只与仪器自身特性有关，为一定值。所以可知相对误差偏大的主要原因并非测量时操作不当，而是因为测得 \(TT_0\) 太小，读数接近 0 导致。另外实验过程中鼓轮反复前后调动可能导致中间过程中\(TT_0\)发生变化。

   \(u(TT_{0})\)对理论建模的影响

   已知 \(d = TT - TT_0\)，故若 \(TT_0\) 误差过大，则 \(d\) 误差过大，致使拟合结果失真，计算得出 \(\epsilon_0\) 不精确。

3. 测量两极板倾角\(\theta\)与极板重叠面积\(S\)：

   测量结果

   测量后取平均值得

   \(AA^{\prime}\)/cm	\(BB^{\prime}\)/cm	\(CC^{\prime}\)/cm	\(DD^{\prime}\)/cm
   10.066	9.9834	10.007	10.077

   \(AB\)/cm	\(A^{\prime}B^{\prime}\)/cm	\(CD\)/cm	\(C^{\prime}D^{\prime}\)/cm
   9.98	9.98	9.91	9.91

   \(AD\)/cm	\(A^{\prime}D^{\prime}\)/cm	\(BC\)/cm	\(B^{\prime}B^{\prime}\)/cm
   9.995	9.994	9.999	10.001

   计算\(\theta\)与面积\(S\)

   由数据可知，\(AA^{\prime}\) 与 \(DD^{\prime}\) 大致相等，\(BB^{\prime}\) 与 \(CC^{\prime}\) 大致相等。所以可以认为 \(AD\) 与 \(A^{\prime}D^{\prime}\) 平行，\(AB\) 与\(A^{\prime}B^{\prime}\) 延长相交。故有： \[\theta = \arccos\left( \frac{AB^2 + {A^{\prime}B^{\prime}}^2 - (AA^{\prime} - BB^{\prime})^2}{2AB \cdot A^{\prime}B^{\prime}} \right) = 0.00310 \text{rad}, \; S = AB \times CD \times \cos\left( \frac{\theta}{2} \right) = 99.4 \text{cm}^{2}.\]

   计算不确定度

   • \(u(AA^{\prime}) = \sqrt{u_{A}^2(AA^{\prime}) + u_{B2}^2(AA^{\prime})} = 0.003cm,\)，相对误差 0.03%；
   • 同理，\(u(BB^{\prime}) = 0.002cm\)，相对误差 0.02%；
   • \(u(CC^{\prime}) = 0.003cm\)，相对误差 0.03%；
   • \(u(DD^{\prime}) = 0.003cm\)，相对误差 0.03%。
   • \(u(AB) = u(A^{\prime}B^{\prime}) = u(CD) = u(C^{\prime}D^{\prime}) = \sqrt{u_{B1}^{2} + u_{B2}^{2}} = 0.04cm\)，相对误差均为 0.04%。
   • \(u(AD) = \sqrt{u_{A}^{2}(AD) + u_{B2}^{2}(AD^{\prime})} = 0.004cm\)，相对误差 0.04%；
   • 同理，\(u(A^{\prime}D^{\prime}) = 0.004cm\)，相对误差 0.04%；
   • \(u(BC) = 0.002cm\)，相对误差 0.02%；
   • \(u(B^{\prime}C^{\prime}) = 0.003cm\)，相对误差 0.03%。

   以上数据相对误差均小于 0.1%，在误差允许范围内可以认为是准确的。 \[u(\theta) = \sqrt{2\left( u(AB) \cdot \frac{\partial\theta}{\partial AB} \right)^2 + \left( u(AA^{\prime}) \cdot \frac{\partial\theta}{\partial AA^{\prime}} \right)^2 + \left( u(BB^{\prime}) \cdot \frac{\partial\theta}{\partial BB^{\prime}} \right)^2\ } = 0.0003 \text{rad},\] 相对误差为 10.0%。 \[u(S) = \sqrt{\left( \frac{u(AB)}{S} \right)^2 + \left( \frac{u(CD)}{S} \right)^2 + \left( \frac{1}{2}u(\theta) \cdot \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) \right)^2} = 0.0006\text{cm}^2,\] 相对误差约等于 0，可以认为基本是准确的。

   误差分析

   • \(u(\theta)\)误差主要来源为\(u(AB)\)和\(u(A^{\prime}B^{\prime})\)，使用游标卡尺进行测量可能提高精度。
   • \(u(\theta)\)过大会导致公式中\(\left( 1 - \frac{L\theta}{2d} \right)\)和 \(\frac{1}{2\pi - \theta}\)项误差过大,从而影响实验结果。

4. 研究极板内间距 \(d\) 与电容量 \(C\) 的关系：

   1. 用 \eqref{orgc075715}进行拟合

      考虑到 (1 ) 仅在\(S \gg d^2\)的情况下成立，故取 0.1 ~ 2mm 区间的数据拟合，如图 3。

      

      拟合结果为 \(C = \frac{97.92}{d} + 2.022 \text{pF}\)，\(R^2 = 0.9945\)。

      由 (1) 式算得\(\epsilon_0 = 9.792 \times 10^{- 12}\text{pF/m}\)。查阅可知理论值\(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{- 12}\text{pF/m}\) ({National Institute of Standards and Technology}, 2018)，相对误差为 10.6%。猜测常数项 2.022pF 为分布电容 \(C_0\)。

      误差分析

      主要原因是未考虑到极板倾角与边缘效应，由图可以看出，拟合结果在 \(d\) 越大时越偏离实际数据，即忽略了边缘效应。另一原因是鼓轮零点相对误差较大导致拟合结果不佳。

   2. 用 \eqref{orgc607fcb}进行拟合

      考虑两极板倾角但不考虑边缘效应，仍旧取 0.1~2mm 区间拟合，结果如图 4。

      

      拟合结果为 \(C = \frac{102.30}{d} - \frac{20.5}{d^2} - 1.023 \text{pF}\)，\(R^2 = 0.999\)。

      由 (2) 式算得\(\epsilon_{0} = 10.230 \times 10^{- 12}\)pF/m。相对误差为 15.5%。

      误差分析

      (2) 式拟合结果误差较之前更大，推测一方面是因为忽略了边缘效应，更主要原因是因为鼓轮零点相对误差太大，导致 \(\frac{1}{d}\) 的一次项误差较大，造成拟合出的分布电容为负值也是相同原因；此外误差来源还有忽略了边缘效应。

   3. 用 \eqref{orgfff5102}进行拟合

      由前述，\(TT_0\)的误差过大已经影响到了拟合结果，故设真实极板间距 \(d^{\prime} = d + x\)，调整 \(x\) 来使拟合结果较为符合预期，取全部数据拟合，得\(x \approx 0.140mm\)。结果如图 5。

      

      拟合结果为\(C = \frac{81.46}{d - 0.014} - \frac{10.28}{(d - 0.014)^2} + 0.12\ln\left( 1 + \frac{628.1}{d - 0.014} \right) + 11.81 \text{pF}\)， \(R^2 = 0.9978\)。

      算得\(\epsilon_0 = 8.146 \times 10^{- 12} \text{pF/m}\)，相对误差为 8.00%，拟合结果较 (1) 式、(2) 式要好。但测得常数项与预期值 \(\left( \frac{\epsilon_0 D}{2\pi} \right) + C_{0} \approx 3.14\text{pF}\)偏离较大。

      误差分析

      实际情况中两极板并不是两边平行，而是存在二面角，与 (3) 式的理想情况不相符；另外\(TT_0\)的相对误差过大也是导致偏差的原因之一。

      综上，得出该平板电容器的理论模型为：

      \begin{equation} C = \frac{\epsilon_0}{TT - TT_0} \left( 1 - \frac{AB\ \cdot \theta}{2\left( TT - TT_0 \right)} \right) + \epsilon_0 BC\left\lbrack \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{2\pi - \theta} \ln\left( 1 + \frac{2\pi \cdot AB}{TT - {TT}_{0}} \right) \right\rbrack + C_{0} \end{equation}

   4. 研究重叠面积 \(S\) 与 \(C\) 的关系

      直接用 \eqref{orgfff5102}进行拟合，结果如图 6。

      

      如图所示，

      • \(d = 8.000\text{mm}\) 时拟合结为 \(C = 0.1024S + 10.25\text{pF}\)， \(R^2 = 0.999\)，算得\(\epsilon_0 = 8.348 \times 10^{-12} \text{pF/m}\)；
      • \(d = 5.000\text{mm}\)时拟合结果为\(C = 0.1625S + 10.64 \text{pF}\)， \(R^2 = 0.999\)，算得\(\epsilon_0 = 8.376 \times 10^{-12} \text{pF/m}\)；
      • \(d = 1.000 \text{mm}\) 时拟合结果为 \(C = 0.5847S + 9.659 \text{pF}\)， \(R^2 = 0.9958\)，算得\(\epsilon_0 = 6.889 \times 10^{-12} \text{pF/m}\)。

      显然\(d = 1.000 \text{mm}\)时拟合结果与实际值偏差过大，舍去此数据，余下结果取平均得\(\epsilon_{0} = 8.362 \times 10^{- 12} \text{pF/m}\)，相对误差为 5.6%。

      误差分析

      拟合的时候取 \(C\) 为 \(S\) 的一次函数，事实上，\(S\) 变化的同时 \(D\) 也在变化，(3) 式后一项并不是常数项，在 \(d\) 比较小的时候， \(\epsilon_0 D\left\lbrack \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{2\pi - \theta}\ln\left( 1 + \frac{2\pi L}{d} \right) \right\rbrack\)变大，故 \(d = 1.000 \text{mm}\)时拟合结果误差极大。另外，两极板存在二面角也是误差来源之一。

      实验讨论

      猜测 \(S = 0\) 时仍存在电容的原因： 首先，由实验 1 可知，两接线柱与空气构成了电容器，存在分布电容；其次考虑到两极板间存在倾角，在水平方向上完全错开时也会存在一部分电容。

1. 通过研究平板电容器电量\(C\)与极板间距\(d\)的关系，由实验数据得 \(\epsilon_0 = 8.146 \times 10^{-12} \text{pF}/\text{m}\)，相对误差为 8.00%。由①、②式拟合结果误差过大可验证边缘效应的存在。
2. 通过研究\(C\)与重叠面积\(S\)的关系，得\(\epsilon_{0} = 8.362 \times 10^{-12} \text{pF}/\text{m}\)，相对误差为 5.56%。

{National Institute of Standards and Technology} (2018). Vacuum electric permittivity (\(\epsilon_0\)).

江昌龙 (2015). 计及边缘效应的非平行板电容器的电容计算, 大学物理.

游荣义 (1993). 非平行矩形板电容器的电场和电容, 大学物理.