偏振光现象的观察与分析

光的偏振现象在光学仪器开发中有极大应用。实验中可以应用多种方法产生线偏振、椭圆偏振及圆偏振光。本实验用激光通过偏振片作起偏器产生线偏振光，将线偏振光通过 1/4 波片与半波片，观察出射光偏振态。得到 1/4 波片可以将线偏振光转化为椭圆偏振及圆偏振光，半波片可以将线偏振光偏振方向旋转一定角度；验证了马吕斯定理；并将两个 1/4 波片组合成一个半波片。

1. 引言

光的偏振现象由法国工程师马吕斯发现。对光偏振现象的研究清楚地显示了光的横波性，加深了人们对光的认识。利用偏振特性开发的元器件在现代科学技术中发挥了重要作用，光调制器、光通信、光电子学器件等应用中都使用了偏振技术。本实验主要是研究 1/4 波片与半波片在光轴与偏振方向取不同夹角时，对线偏振光偏振态的改变；与固定夹角，研究不同方向上偏振光的光强分布并验证了马吕斯定律；用两个 1/4 波片组合成半波片。

2. 实验原理

2.1. 偏振光的种类

光为电磁横波。其电矢量 \(\vec{E}\)、磁矢量 \(\vec{H}\) 与光的传播方向两两正交，成右手系。通常用 \(\vec{E}\) 表示光矢量。按光矢量的振动，可以把光分五种偏振态：自然光、线偏振光、部分偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光。(赵凯华, 2004)

实际上，圆偏振光与线偏振光可以视为椭圆偏振光的特殊情况。将椭圆运动看成两个正交简谐振动的合成，有：

\begin{equation} \label{orga9743d8} \begin{cases} E_{x} = A_{x}\cos{\omega t}, \\ E_{y} = A_{y}\cos\left. （\omega t + \delta \right.）. \end{cases} (-\pi \leq \delta \leq \pi) \end{equation}

光矢量 \(\vec{E}\) 有：

\begin{equation} \label{org4b13390} \vec{E} = A_x\cos{\omega t}\vec{\imath} + A_y\cos(\omega t + \delta)\vec{\jmath} \end{equation}

\eqref{org4b13390}中 \(A_x, A_y\) 分别为两正交方向振幅，\(\omega\) 为光波角频率，\(\delta\) 为两正交方向振动相位差。可知，椭圆偏振光退化为圆偏振光的条件为 \(A_x = A_y\) 和 \(\delta = \pm \pi/2\)；退化为线偏振光的条件是\(A_x = 0\)或\(A_y = 0\)，或 \(\delta = 0, \pm\pi\)。

能使自然光变成偏振光的装置称为起偏器；用来检验偏振光的装置称为检偏器。

2.2. 线偏振光的产生

反射与折射产生偏振

由理论可知，当光以布鲁斯特角入射时，平行于界面的光矢量分量不会反射 (Eugene Hecht, 2019)。故自然光入射，得到反射光只有与入射面垂直的分量，即线偏振光；将多块玻片叠再一起，通过多次的反射与折射，最终透射光与入射面垂直的分量极小，几乎可视作偏振方向与入射面平行的线偏振光。

偏振片

某些晶体具有二向色性：对不同方向的电磁振动选择吸收。当光线射在这种晶体表面上时，振动的光矢量在与其透振方向垂直的方向上几乎完全被吸收；与透振方向平行的分量几乎完全通过。透射光几乎为偏振方向为透振方向的线偏振光。

双折射产生偏振

自然光入射到某些双折射晶体时，经晶体双折射产生寻常光（o 光）、非常光（e 光）均为线偏振光，且偏振方向大体垂直(赵凯华, 2004)。

波晶片

波晶片简称波片，通常是一块光轴平行于晶体表面的单轴晶片。一束线偏振光正入射，发生双折射。o 光、e 光传播方向不变，偏振方向正交，但在晶体内传播速度不同，故出射后两束光之间存在相位差 \(\delta\)： \[\delta = \frac{2\pi}{\lambda}(n_{e} - n_{o})l\] 式中 \(\lambda\) 为入射光波长；\(l\) 为波片厚度；\(n_e,\ n_o\) 分别为 e 光、o 光主折射率。

对于某种单色光（\(\lambda\)一定）能

产生相位差\(\delta = (2k + 1)\pi\text{/}2\)的波片被称为 1/4 波片;
产生相位差\(\delta = (2k + 1)\pi\)的波片被称为半波片;
产生相位差\(\delta = 2k\pi\)的波片被称为全波片。

线偏振光通过各种波片后偏振态的改变

当线偏振光偏振方向与光轴方向夹角 \(\theta\) 成 \(0\) 或 \(\pm \pi/2\)时，出射光仍为原线偏振光。

当夹角不为上述值时，由 \eqref{org4b13390} 知，将线偏振光沿光轴方向与垂直光轴方向分解，有： \[\vec{E} = E_0\cos\theta\cos{\omega t} \vec{e}_e + E_0\sin\theta\cos{\omega t} \vec{e}_o\] 式中\(E_0\)为线偏振光幅值；\(\theta\)为偏振方向与光轴方向夹角；其他量定义如 \eqref{org4b13390}。

通过 1/4 波片后，出射光光矢量 \(\vec{E} = E_0\cos\theta\sin{\omega t} \vec{e}_e + E_0\sin\theta\cos{\omega t} \vec{e}_o\)，为椭圆偏振光，且椭圆轨迹的长轴和短轴分别与光轴平行（垂直）和垂直（平行）（取决于波片由何种晶体制成）。特别地，当 \(E_0\cos\theta = E_0\sin\theta\) 即 \(\theta = \pi/4\)时，出射光为圆偏振光。
通过半波片后出射光光矢量 \(\vec{E} = -E_0 \cos\theta\cos{\omega t} \vec{e}_e + E_0 \sin\theta\cos{\omega t} \vec{e}_o\)，仍为线偏振光，但与光轴夹角为 \(-\theta\)，即偏振方向旋转了\(2\theta\)。
通过全波片后，出射光矢量与入射光相同，线偏振光的偏振态不变。

偏振光的鉴别

借助于检偏器与 1/4 波片

线偏振光：转动检偏器，出现“消光”现象（光强为零）。
自然光与圆偏振光：360^ˆ 转动检偏器，始终不出现消光现象。自然光通过 1/4 波片仍为自然光，转动检偏器不出现消光；圆偏振光则变为线偏振光，转检偏器动出现消光。
椭圆偏振光与部分偏振光：转动检偏器光强改变，但不出现消光。椭圆偏振光通过 1/4 波片，当光轴与椭圆长、短轴平行时，出射光变为线偏振光；部分偏振光则不会。

3. 实验装置及过程

3.1. 实验装置

半导体激光器（波长 635nm）、
偏振片 × 2、1/4 波片 × 2、半波片、
数字式激光功率指示器、
光具座、遮光罩。

3.2. 实验步骤

调整光路：打开激光器与激光功率指示器，调节指示器使之正常示数，并在使用量程下进行调零。在激光器与接收器两端放置两个偏振片分别作起偏器、检偏器，调整光路。固定起偏器，旋转检偏器使光强示数达到最小，可认为此时线偏振光经过检偏器已消光。记录此时检偏器位置读数 \(A_0\)。在两偏振片间放置 1/4 波片，调整光路后旋转波片使达到消光，记录波片的位置读数 \(C_0\)。
研究 1/4 波片：
1. 视 \(C_0\)读数所在直线方向为光轴。从 15° 到 90° 旋转波片，步长 15°。对应每个波片的转角，360° 旋转波片，寻找光强的极值与对应角度刻度读数，分析出射光的偏振态。
2. 取定 1/4 波片的转角为 30°，360° 旋转检偏器，测量光强与对应角度的关系。
研究半波片：
1. 用半波片替换 1/4 波片，调整光路。旋转检偏器至 \(A_0\)。旋转波片，记录其消光位置读数 \(C^{\prime}_0\)。
2. 同实验步骤 2，取不同的波片转角，寻找光强极值，记录大小与刻度示数；取定转角为 15° 不变，测量光强对应检偏器转角的关系。
由 1/4 波片组合成半波片：移走半波片，分别调节两个 1/4 波片至消光。此时两波片光轴必平行或垂直。保持波片与偏振片角度不变，将 1/4 波片组合成的新波片置于偏振片之间，此时会消光。两个波片同时旋转 \(\theta\) 角度(\(\theta < 90^\circ\))，若光强增大，则组合正确；若无论怎么转动仍是消光，证明两光轴相互垂直，将其中一个旋转 90° 再进行验证。

3.3. 注意事项

偏振片和波片的绝对刻度没有实际意义，不代表通光方向与光轴。
激光指示器使用及换挡位前需要先进行调零。

4. 实验结果及分析

调整光路：测得 \(A_0 = 306^\circ,\ C_0 = 214^\circ\)。

研究 1/4 波片：

对于每个波片转角, 旋转波片, 寻找光强极值与对应角度可读读数. 结果如下表

表1 实验数据
转角/°	极大值角度/°	光强读数/mW	极小值角度/°	光强读数/mW	光偏振态
15(229)	228/46	0.410/0.413	320/136	0.031/0.028	椭圆偏振
30(244)	58/240	0.331/0.328	150/334	0.108/0.104	椭圆偏振
45(259)	30/212	0.245/0.242	122/306	0.193/0.197	椭圆偏振
60(274)	12/190	0.338/0.332	282/100	0.104/0.108	椭圆偏振
75(289)	206/26	0.412/0.413	114/296	0.025/0.025	椭圆偏振
90(304)	38/216	0.435/0.434	130/306	0.000/0.000	线偏振

现象分析

不同的波片转角 \(\alpha\)，转动检偏器出现了两次极大两次极小，两次极大（小）值数值上十分接近，相差不超过 \(\pm 0.006\)；极值对应角度在与波片光轴平行或垂直的角度 \(\pm 8\) 范围内（45° 除外）；极大值角度与极小值角度在\(\pm 2\) 的范围内垂直；除 90° 外极小值都不为零。即 90° 时出射光为线偏振光，其他角度出射光为椭圆偏振光。

误差分析

由理论可知，转角为 45° 时，出射光应为圆偏振光，转动检偏器无明显极值。实际测量极大极小值差为 \(0.052\)，相对差值为 23%。不能认为是圆偏振光。推测波片对 o 光、e 光的吸收程度可能不同导致出射时 \(E_o \neq E_e\)，致使圆偏振光变为椭圆偏振光。但如果实际差值的主要来源如上述，则极大极小处角度应与光轴平行或垂直，故这不是偏差的主要来源。

实验中使用的 1/4 波片和激光器出射激光的波长不完全匹配，激光通过波片后 e 光与 o 光相位差与 \(\pi/2\) 略有差值，转角为 45° 时出射光端点轨迹是离心率接近 0 的椭圆。此时，由于 \(E_o\) 与 \(E_e\) 比较接近，额外的相位差相对增大，故 45° 时极大极小处不与光轴近似垂直或平行。这同样解释了为什么极值对应角度并不是严格与波片光轴平行于垂直，而是存在较大差值。

另外，调整偏振片或 1/4 波片角度没有严格消光导致所得光轴角度与实际光轴存在偏差；外界自然光在实验过程中发生变化，与调零时自然光强不相等；激光输出不稳定；偏振片透射光不是严格线偏振光等原因也会造成测量上的误差。

取定转角为 30°，由测得数据做检偏器透振方向与光轴夹角 \(\theta\) ∼ 光强 \(I\) 极坐标图。

图1 光强与角度关系
现象分析
如图 1，图像大致左右、上下对称，呈葫芦形。光强随角度变化出现各两次极大、极小，极小值不为零。由实验原理知，出射光强 \(I = I_e \cos^2 \theta + I_o \sin^2 \theta\)，\(\theta = 0,\pi, \pm \pi/2\)取得极值，图中极值点在平行或垂直光轴位置 \(\pm 6\) 范围内，与理论符合程度较高。

误差分析
如图示，极值点角度比理论值恒大 4 ∼ 6°，显然不是测量时的随机误差。可能原因有：
1. 在确定 1/4 波片消光位置或使波片旋转 30° 时存在 \(+ 4 \sim 6^{\circ}\) 的误差；
2. ②1/4 波片与激光波长不匹配，出射 e 光与 o 光存在一定相位差导致椭圆为斜椭圆，其长、短轴（极大、极小处）并不恰好与光轴平行或垂直，而是存在一个固定差角。

研究半波片
1. 测得 \(C^{\prime}_0 = 262{^\circ}\)。出射光的偏振方向与 \(A_0\) 垂直，得到偏振方向角度 \(\theta_0 = 36{^\circ}\)。由测得数据对通过半波片入射光与出射光偏振方向夹角\(\theta\)与半波片转角 \(\alpha\) 作线性拟合如图 2，结果为： \(\theta = (2.06 \pm 0.06)\alpha - (1 \pm 1),\ R^2 = 0.9996\)。可以为认为 \(\theta = 2\alpha\)，与理论相符。
  
  图2 \(\theta\) 与 \(\alpha\) 拟合直线
  
  误差分析
  观察拟合函数，发现截距的不确定度非常大，同时斜率较理论值稍高；波片转角不等于 \(0^\circ, 90^\circ\) 时，转动检偏器很难达到彻底消光，出射光为离心率接近 1 的椭圆偏振光；推测半波片也与激光波长不匹配，e、o 光存在额外相位差 \(\Delta\phi\)，出射光光矢量 \(\vec{E} = -E_0 \cos\theta \cos(\omega t + \Delta\phi) \vec{e}_e + E_0 \sin\theta \cos{\omega t} \vec{e}_o\)，非线偏振光。因而转动波片达到极小时光强不为零，造成消光位置难以判断，增加随机误差，影响斜率的不确定度。由于数据量较少，数据的波动对不确定度的影响格外大。
  
  另外在 2 中所述的其他不确定度来源在此时仍存在，依旧可能对不确定度有影响。
2. 取定转角为 30°，由数据做透振方向与出射光偏振方向夹角 \(\theta\) ∼ 光强 \(I\) 极坐标图。
  
  图3 光强与角度关系
  
  现象分析
  如图 3，图像大致呈 8 字形。光强随角度变化出现两次极大、两次极小，极小值几乎为零。由实验原理知，透振方向与偏振方向平行时取得极大，垂直时取得极小，图像中极大、极小角度在平行、垂直 \(\pm 2\) 范围内，与理论符合程度很高。
  
  误差分析
  光强取得极小时恒比理论值 0 大 0.007mW，难以达到消光原因由前述；同时在极大极小值取点较少，测得最值可能并非实际极值，也会造成误差；半波片与激光波长不匹配造成取得极值角度与理论值相比有误差。
3. 验证马吕斯定律
  
  马吕斯定律的内容(赵凯华, 2004)：线偏振光入射偏振片，透射光光强 \(I\)为：\[I = I_0\cos^2\theta\] 式中 \(I_0\) 为入射光光强，\(\theta\) 为光偏振方向与片透振方向夹角。故由所得数据作光强 \(I \sim \theta\) 线性拟合如图 4，结果为：\(I( \text{mW}) = (0.393 \pm 0.005) \cos^2\theta + (0.006 \pm 0.003)\), \(\ R^2 = 0.9984\)，可以认为拟合方程符合实际情况。截距在不确定度范围内不为零的原因后述，可以认为验证了马吕斯定理。
  
  图4 \(I\) 与 \(\cos^2\theta\) 拟合直线
  
  误差分析
  由前述，入射光并不是严格的线偏振光；同时外界自然光可能增大，与调零时自然光强相比较大，导致拟合方程中出现正截距。

5. 实验结论

光通过偏振片产生线偏振光。
线偏振光通过 1/4 波片，偏振方向与光轴方向夹角 \(\theta\) 为 0° 或 90° 时，出射光偏振态与入射光相同；\(\theta\) 为 45° 时，出射光为圆偏振光；\(\theta\) 为其他角度时出射光为椭圆偏振光，且椭圆长轴与光轴平行或垂直。
线偏振光通过 1/2 波片，出射光仍为线偏振光，偏振方向旋转 \(2\theta\)， \(\theta\) 为线偏振光偏振方向与波片光轴夹角。
验证了马吕斯定律\(I = I_0 \cos^2\theta\)在不确定度范围内成立。
两个 1/4 波片组合可以组成一个半波片。

6. 参考文献

Eugene Hecht (2019). Optics, 电子工业出版社.

赵凯华 (2004). 新概念物理教程：光学, 高等教育出版社.