单摆测量当地重力加速度
重力加速度是一个重要的地球物理常数，会随高度、纬度不同而变化。测得当地重力加速度在地球物理、力学等方面都有巨大应用。如：观测重力长规的细微变化、观察倾斜度的测量等。单摆法是测量重力加速度的常见方法。本次实验用手机作为摆的主体，利用手机传感器测量不同摆长情况下摆的周期，拟合求出大连当地的重力加速度，测得当地重力加速度为 \((9.5 \pm 0.4)\text{m} \cdot\text{s}^{-2}\)，相对不确定度为\(4.2\%\)，与查得当地重力加速度值 \((9.8001 \pm 0.001) \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)，相对误差为 \(3.1\%\)
1. 引言
摆在小摆角情况下摆动周期不受摆动幅度的影响，只随摆长变化而变化，即摆长不变，摆动周期也不变。这种现象被称为摆的等时性。可以利用这个性质来测量当地的重力加速度。居家条件下没有停表、光电门这类设施，只能制成简陋的摆，也难以对摆的摆动周期做精确的测量。但在手机传感器的帮助下，可以通过远程控制轻松地制成摆（依然很简陋），并测量其摆动周期。从而测量数据算得当地重力加速度。
2. 实验原理
设在某一时刻，单摆的摆线偏离竖直线的角位移为 \(\theta\)（规定在平衡位置右方为正），摆长为 \(l\)，则重力对单摆质心力矩为 \(M = - mg \sin\theta\)，拉力对质心力矩为零。当角位移足够小时，\(\sin\theta \approx \theta\)，则单摆所受力矩为：
\begin{equation} \label{orgc9018d4} M = - mgl\theta = J\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} \end{equation}易得单摆近似做简谐运动，可得摆动周期、摆长与当地重力加速度的关系为：
\begin{equation} \label{orgf4c3111} T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \end{equation}进而可得：
\begin{equation} \label{org6599420} T^2 = \frac{4\pi^2}{g}l \end{equation}由于 \(T^{2}\) 与 \(l\) 成线性关系，故可以测量不同摆长下同一摆锤的摆动周期，做 \(T^2\sim l\) 最小二乘法拟合，求得当地重力加速度。
3. 实验装置及过程
3.1. 实验装置
- 摆
- 居家条件下做实验的一大难点就是实验装置的匮乏，只能用手头仅有的材料制成一个简陋的摆。用比手机略宽的卫生纸筒剪出两个接口正好将手机放入并使手机重心（即中心）与卫生纸筒的中心重合。用皮筋做固定；用毛线做摆线，使摆线栓点恰好竖直过摆重心。
- 其他实验装置
- 计算机（用于远程控制）、卷尺、钢尺、
3.2. 实验过程
- 制作摆，并通过肉眼观察调整好摆的重心。
- 选取好位置，固定摆线一端并测量摆长 \(l\)，让摆自然下垂。
- 拉起摆，使得倾角在 10° 左右，摆线无弯曲。
- 轻轻松开摆，使其在一个垂直面内无旋自由摆动直至摆角小于 1°，由手机传感器读出摆动周期 \(T\)。
- 改变摆长，重复过程 2、3、4。进行 10 组实验，并取得数据。
- 在测量结束后，测量摆线栓点到摆质心的距离。
- 由获得的实验数据，做 \(T^2\sim l\) 最小二乘法拟合，得到当地重力加速度 \(g\)。
4. 实验结果及分析
4.1. 实验结果
实验数据如下表
| l/m | t/s | t2 |
|---|---|---|
| 0.918 | 1.96 | 3.8416 |
| 0.868 | 1.91 | 3.6481 |
| 0.818 | 1.84 | 3.3856 |
| 0.768 | 1.8 | 3.24 |
| 0.718 | 1.76 | 3.0976 |
| 0.668 | 1.66 | 2.7556 |
| 0.618 | 1.61 | 2.5921 |
| 0.568 | 1.55 | 2.4025 |
| 0.518 | 1.48 | 2.1904 |
| 0.468 | 1.41 | 1.9881 |
由测得数据，做 \(T^2\sim l\) 最小二乘法拟合，得：\(T^2 = (4.1 \pm 0.2)l + (0.0 \pm 0.1)\)，\(R^2 = 0.9953\)。（均采用国际单位制）结果如下图所示。
由 \eqref{orgf4c3111} 可知拟合直线斜率 \(k\) 与当地重力加速度 \(g\) 的关系为：\(g = 4\pi^2/k\)，可算得当地重力加速度\(g = (9.5 \pm 0.4 ) \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)，相对不确定度为 \(4.2\%\)，误差较大。
查得大连当地的重力加速度为\((9.8001 \pm 0.001) \text{m} \cdot \text{s}^{- 2}\)，测得值与其的相对误差为\(3.1\%\)。
4.2. 误差分析
误差来源分为系统误差与仪器误差。首先分析系统误差。
- 考虑到手机密度远远大与空气密度，则由于空气浮力与空气阻力产生的误差极小，可以忽略 (王金德, 2011)；
- 摆角很小的条件难以满足。取二阶近似，当摆角为 10° 时，测得 \(g\) 值比实际 \(g\) 值小 \(0.2\%\) ({phyphox}, 2017)。考虑到相对不确定度高达 \(4.2\%\)，这显然不是误差的主要来源。
误差的主要来源是仪器误差。实验中使用的摆很简陋，固定手机传感器的装置并不牢靠，实验中观察到手机在长时间摆动后向一侧接口平移了一小段。且调整手机重心是否与固定装置中心和栓点位置重合是靠肉眼观察，调整结果与实际值存在相当大的距离。假设手机重心在水平方向上向正方向偏离了 \(0.02 \text{m}\)，由刚体力学可算得测得值与实际值之比为： \(g_{1}/g_{2} = 0.98\)，由此产生的相对不确定度大约在 2% 左右。
同时还要注意到，选用的摆线为毛线，毛线存在一定弹性，在摆竖直位置最低的地方会被拉到最长。所以摆的实际运动不是一段圆弧，也会造成误差。
5. 实验结论
测得当地重力加速度为\((9.5 \pm 0.4)\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\)，相对不确定度为 \(4.2\%\)，与查得当地重力加速度值 \((9.8001\pm 0.001)\text{m}\cdot\text{s}^{-2} \) 相对误差为 \(3.1\%\)
6. 参考文献
{phyphox} (2017). Smartphone-Experiment: Pendulum (en).
王金德 (2011). “单摆测重力加速度”的实验研究与误差分析, 铜仁学院学报.