利用波尔共振仪研究受迫振动

自然中的共振现象很多。在民用与工业领域，受迫振动与共振现象既有破坏作用，也有实际价值。利用共振可以制造超声工具，利用原子、分子共振可以制造各种光源。表征受迫振动性质的是受迫振动的幅频、相频特性。本文主要是测量波尔共振仪实验中的空气阻尼与电磁阻尼；研究实验中摆轮在周期性的电机策动力的作用下做受迫振动时的幅频特性和相频特性，观察不同策动力矩作用下摆轮的运动情况。

1. 调整使得摆轮处于平衡位置后，观察系统半周期随时间变化曲线。

   观察到曲线明显振荡（偶数组数据总比前一奇数组数据大），半周期值总体缓慢增加，震荡幅度也随时间增加而变大。

   现象分析

   推测涡卷弹簧在带动摆轮摆动时，前半周和后半周的回复力不同；人工调整摆轮平衡位置与实际位置总存在一定偏差，光电门与长凹槽可能没有完全对准，二者综合导致前后半周期恒有差值 \(\Delta T\)，\(\Delta T\) 随 \(T\) 的增大而增大。猜测由于机械设计原因，系统在振幅较小时由于轴承处机械摩擦已不可忽略，周期会发生变化。

2. 测量得 0 档时空气阻尼系数 \(\beta_0\) 及其不确定度

   由 \eqref{org744996f} 可知，阻尼振动时，\(\ln\theta = - \beta t + C\)，其中 \(C\) 为与初始条件有关常量。

   测得 0 档时 \(\ln\theta\) 与时间 \(t\) 数据，作线性拟合 \(\hat{y} = a + b\hat{x}\)，得到结果为： \[\ln\theta = 4.984 - (5.35 \pm 0.02) \times 10^{- 6}\text{t(ms)},\] 相关系数\(R^2 = 0.9988\)。如图 4 示。

   

   故\(\beta_0 = (5.35 \pm 0.02) \times 10^{- 3}\text{s}^{-1}\)，相对误差为 \(0.37\%\)。

   误差分析

   如图 4 所示，在随 \(t\) 增加 \(\ln\theta\) 减小的过程中，\(\ln\theta\) 渐渐偏离拟合直线向下，同时数据波动程度也变大。对数据进行分段拟合，发现后段拟合 \(\beta_0\) 小于前端拟合结果。

   推测振幅变小导致光电门与长凹槽之间偏差相对增大。不妨设光电门偏离长凹槽的角度为\(\Delta\theta\)，则由 \eqref{org744996f}知，此时测得阻尼系数：（其中 \(\theta_0\) 为初始角） \[\beta^{\prime}_0 = - \frac{\ln\left(\frac{\theta - \Delta\theta}{\theta_0 - \Delta\theta}\right)}{t} \approx \beta_{0} + \Delta\theta\frac{1}{t} \left( \frac{1}{\theta} - \frac{1}{\theta_0} \right)\]

   \(t\neq 0\) 时，\((\theta^{-1}-\theta_0^{-1})\)显然大于零，故不确定度增大。

   同时随幅度减小，振动的机械摩擦也相对增大，由 1 知此时振动周期 \(T\) 也变大，由 \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}\) 知，\(T\) 增大也会表征为阻尼系数增加。两者综合导致 \(\ln\theta\) 偏离，推测实际 \(\beta_0\) 较测得值稍小。另外，大振幅时非线性振动增大，也会造成误差。

   另外，实验过程中的空气流通（考虑到实验装置放在窗边且开窗），也会导致实验过程中 \(\beta_0\) 发生变化。

3. 计算系统固有频率 \(\omega_0\) 及其不确定度

   已知阻尼振动周期为(董霖 and 王涵 and 朱洪波, 2010)：\(T = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}\)。可得在只有空气阻尼的情况下，\(\omega_0 = \sqrt{\beta_0^2 + \frac{4\pi^2}{T^2}}\)，\(u^2(\omega_0) = \left( \frac{\beta_0^2}{\omega_0^2} \right) u^2(\beta_0) + \left\lbrack \frac{2\pi^2}{(\omega_0 T^3)} \right\rbrack^2 u^2(T)\)。由数据算得不同周期对应的 \(\omega_0\) 并作 \(\omega_0 \sim \theta\)线性拟合： \[\omega_{0}(\text{s}^{-1}) = (2.826 \pm 0.0032) \times 10^{-4}\theta + 3.942,\] \(R^{2} = 0.9919\)，如图 5 所示。

   

   算得最终平均值 \(\omega_0 = 3.947\text{s}^{- 1}\)，不确定度 \(u(\omega_0) = 0.023 \text{s}^{-1}\)，\(\Delta\omega_0 = 0.011 < u(\omega_0)\)，在不确定度允许范围内可认为 \(\omega_{0}\) 近似为真实系统固有频率。所以\(\omega_0 = (3.95 \pm 0.02) \text{s}^{- 1}\)，相对误差为 \(0.51\%\)，对应周期 \(T_0 = 1590 \text{ms}\)。

   误差分析

   如 2 中所述，系统在振幅较小时，由于光电门与长凹槽间有偏差、振动有非线性部分导致 \(\beta_0\) 与 \(T\) 发生变化；且由于仪器测量精度有限，振幅较小时数据相对波动较大，使得算得 \(\omega_0\) 偏离实际值。

4. 观察阻尼置 1 档时系统作阻尼振动

   阻尼调至 1 档，使摆轮静止。拨动摆轮作 \(120^{\circ}\) 左右摆动，观察到摆轮振幅迅速衰减，在 \(34.575 \text{s}\) 后即降到仪器无法测出其值；振动周期随时间增加增大，增大的越来越慢，最后在 \(1596 \text{ms}\) 附近波动。

5. 测量阻尼置 1 档时阻尼系数 \(\beta_1\) 及其不确定度

   原理如 2 中所述。使摆轮静止。拨动摆轮作 \(150^{\circ}\) 左右摆动，采集数据。由测得数据作\(\ln\theta\sim t\)图，作线性拟合 \(\hat{y} = a + b\hat{x}\)，得到结果为： \[\ln\theta = 5.15 - (6.05 \pm 0.05) \times 10^{- 5}\text{t(ms)},\] \(R^2 = 0.9967\)。如图 6 所示。

   

   所以\(\beta_1 = (6.05 \pm 0.05) \times 10^{-2}\text{s}^{- 1}\)，相对误差为 \(0.82\%\)。

   误差分析

   振幅较小处由于机械阻尼相对增大，数据波动变大，造成误差；同时，由前述，光电门与长凹槽偏差相对变大，也会造成误差。

6. 粗测在不同策动力矩下系统稳定时振动周期 \(T\)，振幅 \(\theta_2\)，相位差 \(\phi\)。

   保持阻尼挡位不变，选取不同策动力矩周期。

   估计共振周期大约在\(1586ms\)左右。

7. 细测不同 \(T\) 下的 \(\theta_2,\ \phi\)，作幅频曲线和相频曲线。由 6 中数据，确定策动力矩周期范围为 \(1530\sim 1670\text{ms}\) 左右，步长约\(5 \text{ms}\)，共振处附近步长取 \(2 \text{ms}\)。由测得数据作出幅频曲线、相频曲线分别如图 7、 图 8 所示。

   

   

   现象分析

   幅频曲线如图 7 所示，先增大后减小，在 \(\frac{\omega}{\omega_0} = 1.0026\) 处取得极大，此时\(T = 1587 \text{ms}\)，\(|T_0 - T| = 3 \text{ms}\)。由于仪器测量精度为 \(2 \text{ms}\)，认为测得\(\frac{\omega} {\omega_0}\) 稍稍偏大。

   相频曲线如图 8 所示，单调增加，斜率先变大后变小，在 \(\frac {\omega} {\omega_0} = 1.0023\) 处取得 \(\phi = 90{^\circ}\) 假设此时\(\frac {\omega} {\omega_0} \equiv 1\)，\(\omega_0^{\prime} = 3.96 \text{s}^{- 1}\)，对照 \(\omega_0 \sim \theta\) 图，发现振幅为 \(140{^\circ}\) 时\(\omega_0 = 3.96 \text{s}^{- 1}\)，可以认为实验结果与预期相符。

   误差分析

   由理论得，幅频曲线的极大值点 \(\frac {\omega_r} {\omega_0}\) 应略小于 1 (李建设, 2009)，推测是由电机转速的不稳定性导致策动力矩 \(\omega\) 不是定值，而是存在一个周期性误差导致测得 \(\frac {\omega_r} {\omega_0} > 1\) (董霖 and 王涵 and 朱洪波, 2010)。

8. 再次测量阻尼置 1 档时阻尼系数 \(\beta{\prime}_1\) 及其不确定度

   原理及步骤同 5。由数据拟合得直线方程，如图 9 所示。

   

   详细过程略去，计算得\(\beta^{\prime}_1 = (5.94 \pm 0.03) \times 10^{-2}\)，相对误差为\(0.51\%\)。

   误差分析

   除 5 中提到原因外，还要考虑到电机在实验过程中未被关闭（排除电磁阻尼中剩磁对实验的影响）。电机内部焦耳热累积，导致仪器内部回路特性发生变化。猜测仪器内回路电阻变大，电流变小，产生电磁场变小，故电磁阻尼力矩变小。

   \(\beta^{\prime}_{1} < \beta_{1}\) 原因

   由前述，猜测是累积焦耳热导致仪器内部升温，电阻变大，电流变小，电磁阻尼力矩变小，阻尼系数变小。

9. 不同策动力矩作用下的运动情况。

   取阻尼为 1 档始终不变，记录 5 个不同策动力下系统从静止至稳定振动过程中振幅 \(\theta\) 变化，如图 10 所示。

   

   现象分析

   如图，在阻尼大致不变的情况下，

   • 当策动力周期 \(T\) 与 \(T_0\) (约等于 1585 ms) 相差较大，即 \(\omega\) 与 \(\omega_0\) 相差较大时，\(\theta\) 随 \(t\) 的变化规律类似于欠阻尼振动；
   • 当 \(T\) 与 \(T_0\) 相差较小，\(\omega\) 与 \(\omega_0\) 相差较小时， \(\theta\) 随 \(t\) 的增加，很快达到平衡位置，类似于临界阻尼振动；
   • 当 \(T \approx T_0\)，\(\omega \approx \omega_0\) 时，\(\theta\)随\(t\) 变化而变化，在较长时间后才达到稳定，类似于过阻尼振动。

   由 \eqref{org744996f} 知，受迫振动达到稳定前，振幅由 \(\theta_1\exp{( -\beta t)}\), \(\theta_{2}\) 两部分决定。其中 \(\theta_1\) 由初始条件决定，实验中阻尼挡位不变，摆轮总从静止开始摆动，可以认为初始条件几乎不变，故 \(\theta_1\) 也不变，与 \(t\) 无关。而 \(\theta_2\) 为 \(\omega\) 的函数（考虑到 \(\beta, \omega_0\) 均不变），与 \(t\) 无关，只充当最终平衡位置。由此可以将受迫振动的过渡过程看作两个拍的合成(陈志贤, 1984)，观察到的类似欠阻尼曲线的极大、极小处即拍的极大、极小。由于 \(\theta_1 \exp{(-\beta t)}\) 随时间衰减，故最终拍衰减达到平衡。当 \(\omega\) 与 \(\omega_0\) 较接近时，拍的现象不明显，在 \(\omega = \omega_0\) 时，拍现象完全消失。

1. 测得空气阻尼系数\(\beta_0 = (5.35 \pm 0.02) \times 10^{-3} \text{s}^{-1}\)，相对误差为 \(0.4\%\)。
2. 测得\(\omega_0 = (3.95 \pm 0.02)\text{Hz}\)，相对误差为 \(0.5\%\)。
3. 两次阻尼置 1 档时的阻尼系数分别为：\(\beta_1 = (6.05 \pm 0.05) \times 10^{-2} \text{s}^{-1}\)，相对误差为 \(0.8\%\)；\(\beta^{\prime}_1 = (5.94 \pm 0.03) \times 10^{-2}\)，相对误差为\(0.5\%\)。
4. 测得幅频曲线与相频曲线，振幅随 \(\frac{\omega}{\omega_0}\) 增加，先增大后减小，在 \(\frac{\omega}{\omega_0} = 1.0026\) 处取得极大；相位差 \(\phi = 90{^\circ}\) 时，\(\frac{\omega}{\omega_0} = 1.0023\).
5. 观察得，当策动力矩周期 \(T\) 与系统固有周期 \(T_0\) 间关系分别为相差较大、相差较小、近似相等时，振幅随时间分别出现类似欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的变化规律。

朱鹤年 (2006). 波耳共振仪受迫振动的运动方程, 大学物理.

李建设 (2009). 波尔共振实验中幅频特性曲线及相频特性曲线的演化, 广西物理.

董霖 and 王涵 and 朱洪波 (2010). 波尔共振实验“异常现象”的研究, 大学物理.

陈志贤 (1984). 受迫振动过渡过程的讨论, 大学物理.