液体黏度的测量

各种实际流体具有不同程度的黏滞性。黏滞力，是流体受到剪应力变形或拉伸应力时所产生的阻力，由于相邻层间以不同的速度运动时存在摩擦而产生 (Yunus A. Çengel and John M. Cimbala, 2014)。实验证明，液体相邻流层单位接触面上的黏滞力与速度梯度、接触面积成正比，比例系数 \(\eta\) 称为黏度，又称黏滞系数，单位为 Pa ⋅ s (沈元华 and 陆申龙, 2003)。\(\eta\) 是表征流体黏滞性程度的大小，是材料的重要特性。流体的黏滞性在工程上及科学上的应用都十分普遍。如机械工程的航空、船舶领域、地球物理的岩浆、地涵运动方面等。

测量黏度有多种方法，如管流法、泄流法等。本实验用落球法测得蓖麻油在 18.1°C 的黏度 \(\eta\)；在酒精密度与水密度已知的条件下，用毛细管法测得酒精在 18.1°C 下的黏度 \(\eta_2\)；并分别计算了其不确定度。

1. 落球法测量蓖麻油黏度 \(\eta\)

   1. 测得小球直径为 1.001mm。测量第一个小球通过各标志线所用时间如下表所示:

      表1  第一个小球通过各标志线所用时间

      通过位置	1	2	3	4	5
      计时时间/s	31.81	63.85	95.48	126.92	158.51

      由上表知，通过相邻位置线距离，小球所用时间为 \((32 \pm 0.6)\) 秒，且 1 ∼ 2 与 4 ∼ 5 段所用时间比中间段所用时间稍长 \(0.4\sim 0.6\) 秒。推测 1 ∼ 2 段时小球受力未达到平衡，没有达到最大速度，故所用时间较长；4 ∼ 5 段时小球接近圆筒底部，由于液体由黏滞性，小球对周围液体产生摩擦使流体向下运动，流体接触到筒底产生较大湍流使小球向下运动速度变慢。故取中间 2 ∼ 4 段为小球匀速运动部分 \(l\)。

   2. 测量其他 4 个小球直径与通过 2 ∼ 4 段所用时间，得到下表

      表2  五颗小球直径、匀速运动时间及二者平均值

      小球编号	1	2	3	4	5	平均
      直径\(d\)/mm	1.001	0.995	1.002	1.008	1.004	1.002
      时间\(t\)/s	63.07	63.66	63.97	63.00	63.90	63.52

      五颗小球直径落在 \((1.002 \pm 7)\) 范围内，相对差别小于 \(1\%\)，可以认为五颗小球满足了“对同一对象的多次测量”的近似要求。

      测量开始前温度 \(T_1 = 18.0^\circ\text{C}\)，结束时温度\(T_2 = 18.2^\circ\text{C}\)。取其平均值为实验时温度\(T = 18.1^\circ\text{C}\)。测得标志线 2 ∼ 4 段距离\(l = 19.95 \text{cm}\)，油柱直径\(H = 56.80 \text{cm}\)；内径\(D = 25.95 \text{mm}\)；由密度计测得蓖麻油在实验室条件下密度\(\rho = 0.9605 \times 10^{3}\text{kg}/\text{m}^3\)。

   3. 计算黏度及其不确定度

      蓖麻油黏度 \(\eta\)

      已知小球材料密度 \(\rho^{\prime} = (7.90 \pm 0.01) \times 10^{3} \text{kd}/\text{m}^3\)；当地重力加速度\(g = (9.794 \pm 0.001) \text{m}/\text{s}^2\)。由 \eqref{org70680db} 可以算得蓖麻油黏度\(\eta = 1.10 \text{Pa} \cdot \text{s}\)。

      计算不确定度\(u(\eta)\)

      • 已知\(u(\rho^{\prime}) = 0.01 \times 10^3 \text{kg}/\text{m}^3\)， \(u(g) = 0.001\text{m}/\text{s}^2\)；
      • 由于 \(D, H\) 对 \(\eta\) 影响很小，故不考虑其对 \(u(\eta)\) 的影响；
      • 钢尺不确定度限值为 \(0.15\text{mm}\)，\(u_{B1}\) 为分度值的 1/2， \(u(l) = \sqrt{2 \times u_{B1}^2 + u_{B2}^2} = 0.07\text{cm}\)；
      • 千分尺不确定度限值为 \(0.004 \text{mm}\)，\(u(d) = \sqrt{u_A^2 + u_{B2}^2} = 0.003 \text{mm}\)；
      • 密度计不确定度限值可忽略，\(u(\rho) = \sqrt{2} u_{B1} = 0.005\sqrt{2} \times 10^{3} \text{kg}/\text{m}^{3}\)；
      • 秒表不确定度限值可忽略，\(u(t) = u_A = 0.2s\)；

      由 \eqref{org70680db}及不确定度传递公式可知： \[u(\eta) = \sqrt{\eta^2\left\lbrack \frac{u^2\left( \rho^{\prime} \right)}{{\rho^{\prime}}^2} + \frac{u^2(\rho)}{\rho^2} + \frac{u^2(g)}{g^2} + \frac{u^2(t)}{t^2} + \frac{u^2(l)}{l^2} \right\rbrack + \left( \frac{\partial\eta}{\partial d} \right)^2u^2(d)} = 0.010 \text{Pa} \cdot \text{s}\] 故测得温度为 18.1°C 时蓖麻油黏度 \(\eta = (1.10 \pm 0.01)\text{Pa} \cdot \text{s}\)，相对不确定度为 \(0.9\%\)。查表得 18.0°C 时蓖麻油黏度为 \(1.17\text{Pa} \cdot \text{s}\)，18.5°C 时黏度为\(1.13 \text{Pa} \cdot \text{s}\)。设 0.5°C 范围内黏度随温度线性变化，则 18.1°C 时黏度 \(\eta = 1.16Pa \cdot s\)，算得 \(\eta\) 相对误差为 \(5\%\)，误差较大。

      误差分析

      由计算过程可知，钢尺读数与秒表计时产生随机误差为不确定度的重要来源。推测由于钢尺与油筒有一段距离，且标志线本身具有一定宽度，导致标志线位置与油柱高度读数困难。设偏差为 \(0.05 \text{cm}\)，\(\eta\) 产生的偏差可达 \(0.3\%\)；计时时由于存在反应时间，且标志线具有宽度，小球经过标志线的具体时刻难以准确确定，设存在偏差 \(0.2\text{s}\)，\(\eta\) 偏差可达 \(0.3\%\)。

      另外，由于调整油筒铅直靠人眼观察确定，钢尺并不是绝对铅直；无法保证小球总能沿中轴线释放（实验中有观察到部分小球下落到底部附近与中心轴稍稍偏离 \(1 \text{mm}\) 左右），这两点导致小球受力方向不在竖直线上，其运动受管壁影响增大。由理论知，这种情况下，真实值是测得 \(\eta\) 值的 \((1 + d/D )^2\) 倍 (陈碧芳, 2002)，\(d\) 为小球偏离中心轴距离。将 \(1 \text{mm}\)代入 \(d\)，相对误差约为 \(4\%\)。以及查表时，估算得理论 \(\eta\) 值也会存在误差，使最终得到的相对误差较大。

2. 毛细管法测量酒精黏度 \(\eta_2\)

   用蒸馏水进行实验，重复测量液面从 C 到 A 所用时间取平均得 \(t_1 = 78.91 \text{s}\)。

   测量前后温度分别为 17.6°C、17.8°C。取其平均值为水温 \(T_1 = 17.7{^\circ} \text{C}\)。

   同理，酒精液面从 C 到 A 时间为 \(t_2 = 117.83 \text{s}\)。酒精温度\(T_2 = 18.2{^\circ} \text{C}\)。

   计算酒精黏度

   查表得，水密度 \(\rho_1 = 998.68 \text{kg}/\text{m}^3\)，黏度 \(\eta_1 = 1.0614 \times 10^{-3} \text{Pa}\cdot \text{s}\)；酒精密度\(\rho_2 = 790.97 \text{kg}/\text{m}^{3}\)。由 \eqref{org3976954} 得\(\eta_2 = 1.255 \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)。

   计算不确定度\(u\left( \eta_{2} \right)\)

   • 已知 \(u(\rho_1) = u(\rho_2) = 0.01 \text{kg}/\text{m}^3\)，\(u(\eta_1) = 0.0001 \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)；
   • \(u(t_1) = u_A = 0.09 \text{s}\)，\(u(t_2) = u_A = 0.19 \text{s}\)；

   由 \eqref{org3976954} 及不确定度传递公式得： \[u(\eta_2) = \eta_2\sqrt{\frac{u^2(\eta_1)}{\eta_1^2} + \frac{u^2(\rho_1)}{\rho_1^2} + \frac{u^2(\rho_1)}{\rho_1^2} + \frac{u^2(t_1)}{t_1^2} + \frac{u^2(t_2)}{t_2^2}} = 0.002 \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\]

   故测得酒精在 18.2°C 下黏度 \(\eta_2 = (1.255 \pm 0.002) \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)，相对不确定度为 \(0.2\%\)。查表可得酒精在 15°C 时黏度为 \(1.332 \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)，20°C 时黏度为 \(1.200 text{Pa} \cdot \text{s}\)，测得值在两者之间，做线性插值，得 18.2°C 酒精理论黏度为\(1.248 \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)，测量结果偏大 \(0.5\%\)。

   误差分析

   由计算过程可知，因液面达到刻痕具体时刻难以确定，与存在反应时间产生秒表计时的随机误差对不确定度影响较大。设测量时间偏差为 \(0.2s\)，\(\eta_2\) 产生的偏差可达 \(0.4\%\)。

   另外，\eqref{org3976954} 应用的条件要求液体沿均匀管稳定流动的过程中, 流速不随时间改变, 流过流管截面的液体体积 \(V\) 随时间 \(t\) 成线性变化。但对于粘度计中液体沿竖直毛细管流动的过程中,毛细管两端液体的压强差随液面的下降而减小,流速也逐渐减小, \(V\) 与\(t\) 不成线性关系(周珺, 2011)，流过 \(V\) 体积所需时间 \(t\) 较理想情况要长，测得黏度偏大。此外，实验过程中温度上升导致液体体积改变；实验过程中酒精产生挥发，都可能造成误差。

1. 用落球法测得 18.1°C 蓖麻油黏度\(\eta = (1.10 \pm 0.010) \text{Pa} \cdot \text{s}\)，相对不确定度为 \(0.9\%\)。
2. 用毛细管法测得 18.2°C 酒精黏度\(\eta_2 = (1.255 \pm 0.002) \times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}\)，相对不确定度为 \(0.2\%\)。

Yunus A. Çengel and John M. Cimbala (2014). Fluid Mechanics, McGraw-Hill Education.

周珺 (2011). 探究用比较法测液体粘滞系数, 大学物理实验.

张申余 (1991). 毛细管法测液体粘滞系数, 物理实验.

沈元华 and 陆申龙 (2003). 基础物理实验, 高等教育出版社.

陈碧芳 (2002). 落球法测液体粘度的理论修正公式, 大学物理.